Adquiere en esta hoja de trabajo algo de experiencia en aplicar el método de discos, antes de intentar nuestro ejercicio.

Problema 1

Una región está delimitada por el eje xx, la rectas x=1x=1 y x=4x=4, y la curva y=xy=\sqrt{x}.
¿Cuál es el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar esta región alrededor del eje xx?
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Si rotamos la región alrededor del eje xx, el sólido de revolución resultante no tendrá hoyos ni espacios. Así, podemos encontrar el volumen del sólido por medio del método de discos.
La siguiente imagen muestra una sección transversal del sólido en forma de disco.
El radio del disco es r=xr=\sqrt{x}, y, por lo tanto, el área de la cara de cada disco es A(x)=πr2=π(x)2=πxA(x)=\pi r^2=\pi(\sqrt{x})^2=\pi x.
Podemos encontrar el volumen de cada disco al multiplicar el área de la cara por el ancho del disco, dxdx; así, v(x)=πxdxv(x)=\pi x \, dx.
Queremos sumar los volúmenes de un número infinito de estos discos, entre x=1x=1 y x=4x=4; de este modo, el volumen del sólido completo está dado por V(x)=14πxdx.V(x)=\displaystyle \int^4_1 \pi x\, dx.
Podemos evaluar la integral definida para encontrar el volumen del sólido.
V(x)=14πxdx=π14xdx=π[x22]14=π(812)=15π2\begin{aligned}V(x)&=\displaystyle \int^4_1 \pi x\, dx\\\\ &=\displaystyle \pi \int^4_1 x\, dx\\\\ &=\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]^4_1\\\\ &=\pi\left(8-\dfrac12\right)\\\\ &=\dfrac{15 \pi}{2}\end{aligned}
El volumen del sólido es de 15π2\dfrac{15\pi}{2} unidades cúbicas.

Problema 2

Una región está delimitada por el eje xx y la curva y=x22x y=x^2-2x.
¿Cuál es el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar esta región alrededor del eje xx?
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Este problema es parecido al problema 1, excepto que no nos especifican los extremos izquierdo y derecho de la región. Para encontrarlos, necesitamos determinar dónde se intersecan la curva y=x22xy=x^2-2x y el eje xx.
x22x=0x(x2)=0x=0 o x=2\begin{aligned}x^2-2x&=0\\ x(x-2)&=0\\ x=0\text{ o } x &=2 \end{aligned}
Un bosquejo de la región dada y un disco representativo se muestra a continuación.
Vemos que el radio de cada disco es r=(x22x)r=-(x^2-2x) (observa que necesitamos el signo negativo para que el radio sea un valor positivo). Así, tenemos que el área de la cara de cada disco es A(x)=π((x22x))2A(x)=\pi (-(x^2-2x))^2.
Para encontrar el volumen, multiplicamos el área de la cara por el ancho del disco, dxdx; entonces, el volumen de cada disco es v(x)=π((x22x))2dxv(x)=\pi(-(x^2-2x))^2\, dx.
Queremos sumar los volúmenes de un número infinito de estos discos, entre x=0x=0 y x=2x=2; de este modo, el volumen del sólido completo está dado por V(x)=02((x22x))2dx.V(x)=\displaystyle \int^2_0 (-(x^2-2x))^2\, dx.
Podemos evaluar la integral definida para encontrar el volumen del sólido.
V(x)=02π((x22x))2dx=π02(x44x3+4x2)dx=π[x55x4+4x33]02=π(32516+323)=1615π\begin{aligned}V(x)&=\displaystyle\, \int^2_0 \pi(-(x^2-2x))^2\, dx\\ \\ &=\displaystyle\, \pi \int^2_0 \left(x^4-4x^3+4x^2\right)\, dx\\ \\ &=\pi\left[\dfrac{x^5}{5}-{x^4}+\dfrac{4x^3}{3}\right]^2_0\\\\ &=\pi\left(\dfrac{32}{5}-16+\dfrac{32}{3}\right)\\\\ &=\dfrac{16}{15}\pi \end{aligned}
El volumen del sólido es de 16π15\dfrac{16\pi}{15} unidades cúbicas.

Problema 3

Una región está delimitada por el eje yy, la recta y=4y=4 y la curva y=12x3y=\dfrac12x^3.
¿Cuál es el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar esta región alrededor de la recta y=4y=4?
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En este problema, no rotamos la región alrededor del eje xx, sino alrededor de un recta paralela al eje xx, y=4y=4.
Bosquejemos esta región y una sección transversal del sólido. Observa que y=12x3y=\dfrac12x^3 se interseca con y=4y=4 cuando x=2x=2.
Ahora podemos ver que el radio de cada disco es r=412x3r=4-\dfrac12x^3. Por lo tanto, el área de la cara de cada disco es A(x)=π(412x3)2A(x)=\pi\left(4-\dfrac12x^3\right)^2 y el volumen de cada disco es v(x)=π(412x3)2dxv(x)=\pi\left(4-\dfrac12x^3\right)^2 \, dx, donde dxdx es su ancho.
La integral definida V(x)=02π(412x3)2dxV(x)=\displaystyle \int^2_0 \pi\left(4-\dfrac12x^3\right)^2\, dx nos da el volumen de todo el sólido.
Evaluemos la integral a continuación.
V(x)=02π(412x3)2dx=π02(14x64x3+16)dx=π[x728x4+16x]02=π(32716+32)=1447π\begin{aligned}V(x)&=\displaystyle\, \int^2_0 \pi\left(4-\dfrac12x^3\right)^2\, dx\\ \\ &=\displaystyle\, \pi \int^2_0 \left(\dfrac14x^6-4x^3+16\right)\, dx\\ \\ &=\pi\left[\dfrac{x^7}{28}-{x^4}+16x\right]^2_0\\\\ &=\pi\left(\dfrac{32}{7}-16+32\right)\\\\ &=\dfrac{144}{7}\pi \end{aligned}
El volumen del sólido es de 144π7\dfrac{144\pi}{7} unidades cúbicas.

Problema 4

Una región está delimitada por el eje xx positivo, el eje yy positivo y por la curva x=16y2x=\sqrt{16-y^2}.
¿Cuál es el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar esta región alrededor del eje yy?
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Considera que en este problema rotamos la región alrededor del eje yy, no del eje xx.
Bosquejemos esta región y una sección transversal del sólido.
En este caso los discos son horizontales, por lo que el ancho de cada uno es dydy. De este modo, debemos encontrar todas nuestras componentes en términos de yy.
A partir de la imagen, observamos que el radio de cada disco es xx, pero como x=16y2x=\sqrt{16-y^2}, entonces r=16y2r=\sqrt{16-y^2}.
Ahora podemos expresar el área de la cara de cada disco como A(y)=π(16y2)2A(y)=\pi (\sqrt{16-y^2})^2 y su volumen como v(y)=π(16y2)2dyv(y)=\pi (\sqrt{16-y^2})^2 \, dy.
Para encontrar el volumen del sólido completo, sumamos los volúmenes de un número infinito de discos entre y=0y=0 y y=4y=4. La integral definida V(y)=04π(16y2)2dyV(y)=\displaystyle \int^4_0\pi (\sqrt{16-y^2})^2 \, dy nos da el volumen de cada sólido.
Podemos evaluar la integral definida para encontrar el volumen del sólido.
V(y)=04π(16y2)2dy=π04(16y2)dy=π[16yy33]04=π(64643)=128π3\begin{aligned}V(y)&=\displaystyle \int^4_0 \pi (\sqrt{16-y^2})^2\, dy \\\\ &=\displaystyle \pi \int^4_0 (16-y^2)\, dy\\\\ &=\pi\left[16y-\dfrac{y^3}{3}\right]^4_0\\\\ &=\pi\left(64-\dfrac{64}{3}\right)\\\\ &=\dfrac{128 \pi}{3}\end{aligned}
El volumen del sólido es de 128π3\dfrac{128\pi}{3} unidades cúbicas.

Problema 5

Una región está delimitada por el eje yy, la recta y=1y=1 y la curva .
¿Cuál es el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar esta región alrededor del eje yy?
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Comenzamos por bosquejar la región y una sección transversal representativa de nuestro sólido.
Aquí, los discos son horizontales, por lo que el ancho de cada uno es dydy. De este modo, debemos encontrar todas nuestras componentes en términos de yy.
El radio de cada disco es r=xr=x. Sin embargo, expresado en términos de yy, vemos que el radio es . Este proceso se muestra a continuación:
Así, tenemos que el área de la cara de un disco es y su volumen es v(y)=πy3dyv(y)=\pi y^{3}\, dy.
Queremos sumar los volúmenes de un número infinito de estos discos, entre y=0y=0 y y=1y=1; de este modo, el volumen del sólido completo está dado por V(y)=01πy3dy.V(y)=\displaystyle \int^1_0 \pi y^{3}\, dy.
Podemos evaluar la integral definida para encontrar el volumen del sólido.
V(y)=01πy3dy=π01y3dy=π[14y4]01=π(14)=π4\begin{aligned}V(y)&=\displaystyle \int^1_0 \pi y^{3}\, dy \\\\ &=\displaystyle \pi \int^1_0 y^{3}\, dy\\\\ &=\pi\left[\dfrac14y^{4}\right]^1_0\\\\ &=\pi\left(\dfrac{1}{4}\right)\\\\ &=\dfrac{ \pi}{4}\end{aligned}
El volumen del sólido es de π4\dfrac{\pi}{4} unidades cúbicas.

Problema 6

Una región está delimitada por el eje xx, la recta x=9x=9 y la curva y=xy=\sqrt{x}.
¿Cuál es el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar esta región alrededor de la recta x=9x=9?
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En este problema, no rotamos la región alrededor del eje yy, sino alrededor de un recta paralela al eje yy, x=9x=9.
Bosquejemos esta región y una sección transversal del sólido.
Observa que los discos son horizontales, por lo que el ancho de cada disco es dydy. De este modo, debemos encontrar todas nuestras componentes en términos de yy.
Como y=xy=\sqrt{x}, entonces x=y2x=y^2.
A partir de la imagen, podemos observar que el radio de un disco es 9x9-x. Al expresar esto en términos de yy, tenemos que r=9y2r=9-y^2.
Así, el área de la cara de cada disco es A(y)=π(9y2)2A(y)=\pi\left(9-y^2\right)^2 y su volumen es v(y)=π(9y2)2dyv(y)=\pi\left(9-y^2\right)^2 \, dy.
Queremos sumar los volúmenes de un número infinito de discos entre y=0y=0 y y=3y=3. Por lo tanto, el volumen del sólido completo está dado por V(y)=03π(9y2)2dy.V(y)=\displaystyle \int^3_0\pi \left(9-y^2\right)^2 \, dy.
Podemos evaluar la integral definida para encontrar el volumen del sólido.
V(y)=03π(9y2)2dy=π03(8118y2+y4)dy=π[81y6y3+15y5]03=π(243162+2435)=648π5\begin{aligned}V(y)&=\displaystyle \int^3_0 \pi \left (9-y^2\right)^2 \, dy \\\\ &=\displaystyle \pi \int^3_0 \left(81-18y^2+y^4\right)\, dy\\\\ &=\pi\left[81y-6y^3+\dfrac15y^{5}\right]^3_0\\\\ &=\pi\left(243-162+\dfrac{243}{5}\right)\\\\ &=\dfrac{ 648\pi}{5}\end{aligned}
El volumen del sólido es de 648π5\dfrac{ 648\pi}{5} unidades cúbicas.
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