Método de discos alrededor del eje y

en esta ocasión tenemos parte de la gráfica y es igual a x cuadrada otra vez la idea en esta ocasión es seguir trabajando con sólidos de revolución pero en esta ocasión lo que quiero es que gire alrededor del eje de las 10 por lo tanto en lugar de fijarnos en valores de x me voy a fijar en valores de jeff voy a decir que quiero el volumen de este sólido de revolución desde ye igual a 1 hasta allí igual a 4 y ahora lo que quiero hacer es girar esta función en este intervalo alrededor del eje de las 10 es decir no voy a girar de esta manera y bueno recuerda que lo importante es que lo podamos visualizar por lo tanto voy a intentar dibujarlo para que me quede mucho más concreto entonces voy a tomar esta de aquí este de aquí va a ser su base la base de mi nuevo sólido de revolución esta parte de acá arriba también va a tener que tener un corte va a ser esta cara que yo tengo aquí entonces lo estoy dibujando no me quedó nada mal y del otro lado también tengo esta pared ahora lo que voy a hacer es darle un poquito de grosor agarre una mejor perspectiva entonces mira como lo coloreo y ya se ve más un sólido es más para que se vea mucho mejor lo voy a dibujar por separado así vas a entender mejor qué es lo que estoy haciendo esta es una de las caras aquí va mi sólido de revolución y después baja un poco y encuentra a otra de mis caras a otra de sus bases fíjate que este volumen se me hace muy parecido como a un plato para comer serial o algo así y bueno parece estar muy plano así que déjenme darle un poco de grosor lo voy a poner con otro color así y nada mejor con el color amarillo que teníamos en un principio le voy a dar grosor y es que recuerda que lo importante es que podamos visualizar estos sólidos de revolución eso me sirve bastante para encontrar la solución y muchas veces visualizar este tipo de problemas es la parte difícil es como un medio tazón algo como un trofeo así que vamos a dibujar también los ejes para guiarnos un poco más este va a ser el eje de las 10 y después se intersecta este eje con el eje de las x y bueno lo que estoy intentando es que tengas otra perspectiva para que lo puedas visualizar mejor y entiendas mejor qué es lo que está pasando no sea tan difícil esta etapa que yo tengo aquí es esta etapa que estoy dibujando acá y ahora la pregunta va a ser como encuentro yo el volumen de este sólido de revolución que me acabo de plantear ahora la idea que hay detrás es más o menos la misma que hice en el vídeo anterior me voy a tomar discos pero en esta ocasión en lugar de tomar médicos alrededor del eje de las x me voy a tomar discos alrededor del eje de las 10 y es que piensan un poco realmente la lógica suena bien y entonces tomamos un cierto valor de james y a partir de aquí voy a crear un disco así que tengo un radio igual al valor de esa función y bueno aquí tengo la cara de mi disco después necesito un cierto grosor y recuerda que estamos hablando de discos muy muy delgados por eso estoy dibujando un disco delgado y bueno este disco no va a tener un grosor de de x como en el vídeo pasado mejor vamos a decir que tiene un grosor de d ahora lo que sería bueno preguntarnos pues va a ser cuál es el volumen de este disco pero en términos de y así que lo que necesitamos es el área de la base o de la cara de esta moneda de este disco y bueno como también es una circunferencia entonces vamos a decir que es pi por radio al cuadrado pero ahora la pregunta es cuál es el radio bueno como queremos todo en términos de i pues entonces lo que necesitamos es de esta expresión despejar ay es decir en este caso lo que voy a tomarme es la raíz cuadrada de ambos lados y por lo tanto me va a quedar que la raíz cuadrada de james es igual a equis y bueno ya que tenemos este despeje sería muy bueno saber si es congruente pero si es congruente porque ya siempre es positiva recuerda que no hay raíces de números negativos y lo bueno es que estamos en el eje positivo de las guías y bueno ya con esto entonces podemos decir que x es igual a la raíz cuadrada de james y vamos a fijarnos solamente en la parte derecha de esta función que al final es justo lo que queríamos girar entonces no hay tanto problema estamos bien en todo y perfecto sí ya estoy expresando esta función como una función que depende de iu entonces cuál va a ser el radio que yo necesito pues claro el radio va a ser igual a la raíz de jeff el radio nuestro radio va a ser igual a la raíz cuadrada de james y bueno no quiero confundirte porque casi siempre nosotros tomamos una función de x pero en este caso pues va a ser una función de ella y es más vamos a llamarla no sé en lugar de f llamémosla g de james ahora sí vamos a sacar el área el área es igual a pipo del cuadrado entonces esto quiere decir que el área es igual a pi por el radio al cuadrado pero quien es el radio el radio es la raíz de y exactamente y bueno el área o más bien esto va a ser igual a pi por el radio elevado al cuadrado que es la raíz del elevado al cuadrado que es y ahora es lo que nosotros queremos es el volumen de este disco pues hay que multiplicar esta área por d por el grosor así que el volumen de cada uno de estos discos va a ser igual a pi que multiplica y que multiplica a day en esto de aquí es el volumen de nuestros discos del disco del disco de la moneda ahora si lo que nosotros queremos es el volumen de este tazón entero entonces lo que hay que hacer es tomar la suma de todos los volúmenes de cada uno de los discos de cada uno de los discos desde ya igual a uno hasta igual a cuatro por lo tanto me voy a tomar la integral la integral de uno hasta cuatro y bueno no se te olvide que al tomar la integral estoy tomando una suma muy especial es la suma de todos estos discos pero además lo que estoy haciendo es una suma infinita porque lo que estoy diciendo es que de ye se está volviendo muy pero muy pero muy pequeño y por lo tanto voy a tener la cantidad mayor y mayor y mayor de discos y bueno esto quiere decir que lo que estoy haciendo es tomar una aproximación al volumen de este tazón y más aún en él es el volumen de este tazón y bueno si esta es la fórmula del volumen entonces habrá que resolver esta integral para saber cuánto es el volumen sacamos la constante que es pi y nos queda una integral que no sabemos de memoria esto es lo mismo que ye cuadrada entre 2 evaluado de 14 y bueno esto es igual a pi que multiplica a 4 elevado al cuadrado entre 2 menos uno elevado al cuadrado entre 2 esto aplicando los límites de evaluación y esto es lo mismo que pi que multiplica a 16 entre 2 que es 8 menos 1 al cuadrado entre 2 que es un medio y bueno aquí tengo 16 medios menos un medio pues es lo mismo que 15 medios y x me quedan 15 pi medios o lo que es lo mismo 15 medios de pi y lo hemos logrado perfecto porque ya encontramos por fin el volumen de este sólido de revolución pero esta vez no giraba alrededor del eje de las equis giraban alrededor del eje de las 10 este fue un ejercicio emocionante no creen