Teorema del valor medio para integrales

ya tenemos un montón de vídeos sobre la idea del teorema a mí déjame ponerlo aquí teorema del valor medio valor medio y bueno aunque tenemos ya un montón de vídeos sobre esta idea quiero repasar un poquito porque quiero ver cómo se conecta esta idea del teorema del valor medio que estudiamos en el cálculo diferencial con la idea del valor promedio de una función usando integrales definidas así que el teorema del valor medio que nos decía nos dice que si tenemos una función f voy a ponerlo aquí que si tenemos una función f la cual es continua continua en el intervalo y vamos a ponerlo así en el intervalo cerrado a be ok tengo una función continua en este intervalo y además que es diferenciable en el intervalo abierto a como p déjame ponerlo así es diferenciable se hable ok en el intervalo abierto ok en cómo ve y ojo estamos tomando un intervalo abierto es decir la derivada está definida en este intervalo abierto no necesariamente tiene que ser diferenciable en las fronteras pero lo que sí es que tiene que ser derivable entre las fronteras y bueno si tenemos estos dos entonces nosotros sabemos lo siguiente entonces nosotros sabemos que existe algún valor o algún número pensemos mejor en algún número así que lo voy a escribir existe existe ok un número número número que vamos a llamar ser ok existe un número c tal que y que ok y eso es muy importante va a ocurrir lo siguiente si existe entre estas dos fronteras así que luego escribe así es menor que sé que es menor que ven ok sé existe entre estas dos fronteras y y esto es muy importante y además se cumple y esto es muy importante porque es la parte central de este teorema además se va a cumplir que la derivada de la función en ese punto o lo puedes ver como la pendiente de la recta tangente en ese punto y esto lo voy a poner así como f prima o que deseen esto va a ser exactamente igual y lo puedes ver como la tasa de cambio en ese intervalo o lo podemos ver como la pendiente que éste genera entre estos dos puntos finales y bueno la pendiente que se genera entre estos dos puntos finales a la podemos ver como el cambio en james y para eso vamos a pensar en él dv ok esto - bueno pues efe a efe de a ok esto a su vez está dividido entre bueno pues ve - a ver - a de lujo y bueno realmente profundizamos mucho más en este tema en el primer curso de cálculo pero sólo recordando vamos a analizarlo un poco de manera visual porque creo que es mucho más intuitivo si lo analizamos de una manera visual justo por aquí así que déjame dibujar aquí dos ejes tengo aquí uno de mis ejes aquí tengo otro de mis ejes déjenme poner que este es uno de mis ejes este va a ser otro de mis ejes y bueno voy a decir que por aquí tengo a ok por aquí voy a tener ave y por aquí también tengo a mi función haciendo algo interesante mi función hace algo más o menos así ok y bueno entonces voy a decir que aquí tengo a efe de am por aquí tengo a efe y bueno si habemos queremos fijar en justo lo que tenemos aquí en esta expresión que tenemos aquí bueno pues creo que te descuenten lo siguiente a efe - y fedea es a esta distancia que tengo aquí esta distancia que tengo aquí es fpv - efe de am ok y bueno de menos a es justo la distancia que tengo de aquí hasta acá ok y bueno si te das cuenta lo que nos estamos fijando realmente es en la pendiente de la recta que se genera entre estos dos puntos la pendiente de la recta que va de este punto hasta este otro punto justo este de aquí y bueno justo lo que nos dice el teorema del valor medio es que existe una si existe enlace en ese intervalo y déjame ponerlo con este color el cual su pendiente de su recta tangente es exactamente igual a esta pendiente de esta recta que tenemos en azul es decir por aquí tenemos aún hace justo esté por aquí base un valor para hacer el cual va a cumplir que si nos fijamos en la pendiente de su recta tangente es exactamente igual que la pendiente de esta recta que cruza todo este intervalo y bueno puede ser solamente estas o pueden existir varias pero lo que sí sabemos es que al menos existe una sem y ojo estamos hablando de una función continua y diferenciable en este intervalo ahora seguramente cuando tú ves esto algo de ti te recuerda o encuentras alguna semejanza con la fórmula o la definición del valor promedio de una función y vamos a recordarla el valor promedio ok voy a ponerlo así promedio de una función esto lo definimos como 1 / b menos a ok esto que a su vez multiplica a la integral a la integral definida desde a hasta b ok efe de x de x de x y bueno date cuenta que aquí tenemos uno / b - y por aquí también tenemos b - como denominador y seguramente esto te va a parecer muy interesante porque aquí estamos hablando de una derivada y aquí estamos hablando de una integral entonces parece que podemos conectar estas dos ideas y bueno seguramente tal vez lo primero que te salte la vista es que entonces podemos encontrar una forma de escribir este numerador que tengo aquí como esta expresión que tengo justo aquí y de hecho te encargo que pases el vídeo y pienses en cómo reescribir este numerador como esta integral que tengo aquí y te voy a dar una pista date cuenta que aquí tenemos fx cuando por acá necesitamos f prima de x así que tenga algo que pienses en esto por un rato y bueno regresando una vez más esta parte de acá podemos escribir la de la siguiente manera y pon mucha atención esto lo podemos ver como la integral definida de a hasta b de f prima de x de x ok y es que piensas un poco si tomamos la anti derivada de f priva de x solamente nos quedaría fx y si eso lo evaluamos primero en b nos va a quedar efe db y a esto lo tenemos que tomar la diferencia con la función evaluada nam es decir etcétera y bueno claro a esto hay que dividirlo a esto hay que dividirlo entre b menos a ok y de lujo esto se empieza a poner interesante porque una forma de pensarlo es la siguiente debe de existir una sem que cuando evalúa su derivada en cm esto es lo mismo que el valor promedio de la derivada o podemos pensarlo de la siguiente manera otra forma de verlo es que si bautizamos a una nueva función y déjame ponerlo con este nuevo color si bautizamos a una función como gtx igual a efe prima de x a efe prima de x entonces vamos a estar muy cerca de lo que tenemos justo aquí y para eso déjenme bajar un poco la pantalla y vamos a escribirlo de la siguiente manera esto que tenemos aquí lo podemos ver como gdc como gdc como gdc y bueno esto por la definición porque gdc es lo mismo que f prima de s y bueno esto es exactamente lo mismo que uno entre venenosa y lo voy a poner con este mismo color 1 / b - ah ok esto que a su vez multiplica a la integral desde a hasta b ok d efe prima de x de x pero f prima de x es lo mismo que de x por lo tanto lo voy a escribir como x de x esto por la definición de gx cdc es igual a 1 entre b menos a que multiplica a la integral desde esta vez deje de x de x y esto es por nuestra definición de gx de lujo y es que esta es otra forma de pensar lo que de hecho es otra forma de ver el teorema del valor medio y por cierto a esto le llaman el teorema del valor medio déjame ponerlo así el teorema del valor medio pero para integrales para integrales integrales de lujo que bueno esencialmente lo que nos va a decir es que si tenemos una función de x gdx que sea continua continua ok en el intervalo cerrado a b ok entonces debe de existir anp y déjame ponerlo así entonces entonces existe c entonces existe cm ok y estás en am es tal que obtiene la propiedad que se cumple kg evaluada en sí es lo mismo que esto de aquí y que es estoy aquí nuestro valor promedio de la función entonces déjame ponerlo así entonces existe ese tal que ok tal que han de ser g de c es exactamente igual que g promedio que promedio es decir el valor promedio de la función pero bueno en general lo que quería contarte es la definición del teorema del valor medio para integrales este de kim y que te dieras cuenta de que es muy parecido claro sólo con una anotación distinta al teorema del valor medio que vimos en cálculo diferencial y bueno también quiero que te des cuenta que tiene una diferencia pequeña en su interpretación cuando nosotros nos fijamos en la interpretación y déjeme subir para que la pantalla de el teorema del valor medio hablando de cálculo diferencial entonces pensábamos en un valor sem en este punto que tiene la cualidad de que la pendiente de su recta tangente es la misma que la tasa promedio de cambio en este intervalo aunque la pendiente promedio en este intervalo esté visto desde la perspectiva del cálculo diferencial hablando de pendientes cuando lo vemos o lo pensamos en un contexto en el cálculo integral bueno pues realmente lo que estamos hablando es del valor promedio de la función estamos hablando de promedios es decir existe una sed tal que el valor de la función evaluada en ese punto ce es igual al valor promedio de la función otra forma de verdad sería y déjenme poner aquí un pequeño dibujo si yo lo dibujó algo así tengo aquí mis dos ejes voy a tener un eje por aquí otro eje por acá y voy a decir que este es mi eje y este es mi eje x ok y bueno voy a poner por aquí a mi función de x y voy a suponer que esa función que de x es esta que tengo aquí voy a dibujarla algo así ok aquí tengo mi función g de x y lo voy a poner si bien es igual a gtx y bueno nosotros queremos fijarnos en un intervalo en el intervalo que va desde a ok hasta be ok vamos a ponerlo por aquí y no voy a fijar en este intervalo por acá ok y por acá ok y entonces nosotros ya vimos cómo calcular nuestro valor promedio que tal vez sea a déjame cambian de color me gusta este de por aquí este de por aquí va a ser el promedio ok y realmente lo que nos dice el teorema del valor medio para integrales es que debe de existir una c en este caso va a ser esta de aquí tal que cuando evaluamos hace en esta función a dejar el poner así cuando evaluamos hace en esta función g nos dan el valor promedio gdc toma el valor de g promedio y claro donde ésta se está en este intervalo