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Sólido de revolución entre dos funciones (lo que lleva al método de los anillos)

Transcripción del video

pues vamos a seguir hablando acerca de sólido de revolución y calculando sus volúmenes pero en esta ocasión me voy a tomar la función ye es igual a raíz de x y si ustedes hacen un poco de memoria su gráfica se ve más o menos así pueden dibujar la y darse cuenta que ésta es la gráfica de ye es igual a raíz de x a la raíz positiva de x ahora esto no va a acabar aquí también me voy a tomar otra función en este problema en este problema vamos a considerar también la función que le es igual a x la función identidad y por qué porque ahora lo que voy a querer hacer es girar estas dos funciones y calcular el volumen del sonido de revolución que me queda entre estas dos funciones es decir lo que voy a querer calcular es el volumen del sonido de revolución que me va a quedar al girar el área que está encerrada entre estas dos gráficas alrededor del eje de las x suena interesante no ahora vamos a empezar con la intuición imagínate que aquí voy a dibujar a la función y es igual a raíz de equis pero esta vez girada alrededor del eje de las x por lo tanto qué es lo que me va a quedar y esto me va a servir para que los visualicemos mejor entonces este punto se va a conectar con este punto y esta va a ser la parte exterior del sólido de revolución que en esta ocasión quiero calcular esta parte va a ser la exterior es decir este tazón o este trofeo no sé cómo llamarlo llamémoslo trofeo entonces este trofeo va a ser la parte exterior la cara exterior de este sólido de revolución mientras que por otra parte yo tengo la función que le es igual a x por lo tanto adentro de este trofeo yo tengo un cono imaginarse que yo quiero la función jay es igual a x alrededor del eje de las x y por lo tanto me va a quedar un cierto con no vamos a intentar darle un poco más de proporción y esta es la parte interna de mi sólido de revolución que yo voy a creer o dicho de otra manera vamos a tratar de dibujar algunas de sus paredes magia que ésta va a ser ni pared está de kim es una de mis paredes de mi sueldo de revolución claro del sólido de revolución que en esta ocasión quiero es decir esta área que yo tengo aquí es lo que voy a girar alrededor del eje de las x y por lo tanto me va a salir un sólido de revolución el cual voy querer calcular su volumen esa pregunta en esta ocasión cómo voy a poder calcular este volumen y ya estoy viendo tu cara de emoción porque ya te estás imaginando cómo vamos a resolver este problema la idea que hay detrás es la siguiente lo que voy a hacer es calcular el volumen del sólido de revolución que está en la función hay es igual a raíz de x ya esto le voy a quitar el volumen del sólido de revolución que me queda al final la función que es igual a x por lo tanto vamos a hacerlo para esto voy a utilizar también el método de los discos que hemos venido utilizando los videos anteriores la idea es la siguiente primero me voy a agarrar un disco este disco que tengo aquí en la función que le es igual a raíz de x entonces vamos a ponerlo con un color que sea mejor este va a ser mi radio de mi disco esta es la cara de la moneda o del disco y también teníamos un cierto grosor este va a ser mi grosor que en este caso era de x recuerdan estos micros orde x y por lo tanto siguiendo esta idea lo primero que voy a hacer es calcular el volumen de este disco que es el ancho es decir dx que multiplica al área de este círculo es decir pipo radio al cuadrado pipo radio pero en este caso el radio es igual a la función y la función es igual a la raíz de x elevada al cuadrado por lo tanto me queda piqué multiplica al radio elevado al cuadrado pero en esta ocasión el radio es igual a raíz de x y por lo tanto me queda piqué multiplica la raíz de x elevado al cuadrado de x y entonces lo que yo quiera tomar la suma de todos estos discos que construya alrededor del eje de las x por lo tanto me tomaba yola integral recuerdan que lo que estaba pensando en a tomarme la suma de todos estos discos y después el límite haciendo que estos discos fueran muy pero muy delgados y entonces acuérdense que resultado resumido de toda esta idea se llamaba la integral entonces me tomaba la integral de esa expresión y ahora qué es lo que nos faltan lo que nos faltan son los límites de integración entre que el límite y que el límite de integración no estoy tomando y para esto lo que necesito es encontrar los puntos de intersección entre estas dos curvas es decir en qué momento estas dos curvas son iguales lo que voy a querer es que xe igual a la raíz dx pero para resolver esta igualdad lo que voy a hacer es pasar la raíz cuadrada del otro lado es decir me queda que es cuadrada es igual a x y para qué valores se cumple esto bueno si hacemos un poco de memoria hay dos valores para los que se cumple esto mi primer valores es igual a cero que bueno ya lo sabíamos en este punto que teníamos aquí y mi segundo valores cuando equivale a 1 porque uno al cuadrado es lo mismo que uno por lo tanto ya tengo mis dos valores o si lo queremos ver de una manera más formal me quedaría que x cuadrada - x es igual a cero o dicho de otra manera lo que tenemos que hacer es resolver una ecuación de segundo grado y para esto es lo que voy a hacer es factorizar a una x es decir x que multiplica a x menos uno tiene que ser igual a cero y esto tiene dos soluciones o x es igual a cero o x menos uno es igual a cero y entonces se tienen dos soluciones o x es igual a cero o x es igual a 1 es importante recordar que dos cosas son iguales a cero si una es cero o lado 30 y por lo tanto ya tengo los límites de integración de 0 a 1 de esta expresión y por la raíz de x elevado al cuadrado por el diferencial de x para calcular el volumen del sonido de revolución que me queda al girar la función y es igual a raíz de x cuando gira alrededor del eje de las x y bueno ahora viene la sorpresa este vídeo la sorpresa este video era que el volumen que nosotros queremos es la diferencia de los volúmenes de estos dos sólidos de revolución por lo tanto lo que voy a buscar ahora es el volumen del sonido de revolución que me queda es girar la función que es igual a x alrededor del eje de las x voy a tomarme un disco adentro esta función y me voy a tomar su volumen entonces su volumen espí por la función elevada al cuadrado recuerden que el radio es lo mismo que la función que en este caso las funciones 10 es igual a x por lo tanto adentro va x todo esto elevado al cuadrado y a esto lo tenemos que multiplicar por el grosor pero el grosor como estamos siendo la integral también alrededor del eje de las x en este caso también es de x men aquí estoy dibujando el grosor es claro que tengo una moneda aquí por lo tanto voy a multiplicar por el grosor el cual habíamos dicho que era de x y recuerdan que con la integral no estoy tomando la suma y además el límite cuando dx es muy pequeño pues ya cuando estas dos integrales tenemos las expresiones de los lo menos que nosotros queríamos y la diferencia de estos dos volúmenes el volumen que yo busco es decir el volumen que está entre el trofeo y éste con o raro por lo tanto lo primero que voy a hacer es resolver estas dos integrales fíjese que pi puede salir de la integral por lo tanto de la primera integral voy a sacar a pink y me queda pi que multiplica al integral de 0-1 de raíz de x elevado al cuadrado es decir x de x menos aquí también voy a sacar api que multiplica al integral de 0 a 1 de x elevado al cuadrado diferencial de x y bueno estás integrales ya son muy fáciles de resolver esto me va a quedar lo voy a poner aquí piqué multiplica a quien necesitó el anti derivada de x que es x cuadra entre dos evaluadores 01 está muy fácil esto - piqué multiplica la anti derivada de que es cuadrada que es xq ubica entre 3 y esto evaluado de 0 a 1 también está aquí no hay tanto problema después de esto me queda piqué multiplica y y en este paso lo que voy a hacer es la evaluación voy a substituir a x por uno por cero y me queda un medio -0 entre 2 y mejor dejarlo escribirlo así uno elevado al cuadrado entre 2 - 0 elevada al cuadrado entre dos menos y aquí tengo piqué multiplica a uno elevado al cubo entre 3 - 0 elevado al cubo entre 3 y pues prosigamos primero voy a seguir teniendo el pia fuera del paréntesis y me va a quedar esperen mejor dejarlo ponerlo con el mismo color vi que va a multiplicar y será entre dos se va de una vez lo cancelamos un medio aquí me queda uno al cuadrado que es uno entre dos pues es lo mismo que un medio y que multiplica pips espí medios ya esto le tengo que quitar y lo mismo cero entre 3 se va y me queda un tercio que multiplica apyme quedan pi tercios y bueno vamos a hacer esto con fracciones el mínimo común múltiplo de estos dos es 6 por lo tanto el común denominador va a ser seis y 16 entre 12 es igual a tres por peter spiegel entonces me queda tres piglia esto le voy a quitar 6 entre 3 éstos por pyme va a quedar dos pi si lo hice bien a veces entre dos estrés multiplica peas entre 32 si entonces tres pymes los dos pies lo mismo un solo fin me va a quedar pi sextos y ya con esto encontré la solución del volumen de esta copa extraña que yo estaba buscando y todo esto gracias al famoso método de los discos
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