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Contenido principal
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Transcripción del video

vamos a generalizar lo que vimos en el vídeo pasado primero teníamos dos ejes en el primer eje el eje vertical es el eje de la siesta y voy a hacer un eje un poco más horizontal que va a ser el eje de las equis y en el vídeo pasado tomábamos dos funciones entonces voy a hacer la gráfica de mi primer función esta de verde va a ser mi primer función y va a ser algo así no importa pero lo que importa es que tiene de nombre que es igual a efe de x mientras que por otro lado tomábamos otra función es este azul que estoy dibujando aquí si la nombramos en forma general va a ser que es igual a gd x bonito nombre no creen que iguala x y ya con esto tenemos a las dos funciones generalizadas con sus respectivos nombres ya que teníamos las dos funciones la pregunta era cómo encontrábamos el volumen del sólido de revolución que obteníamos de girar esta área en medio de estas dos funciones alrededor del eje de las x es decir esta área que está en medio de estas dos funciones la vamos a girar alrededor del eje de las x y vamos a obtener una figura muy parecida a esta recuerden que en el vídeo pasado era como un tazón como un trofeo se acuerdan en el cual adentro existía un cono en forma general tenemos un área entre dos funciones que vamos a girar alrededor del eje de las x obteniendo así un sólido de revolución y nos preguntábamos cuál era su volumen la idea que utilizamos en el vídeo anterior era muy parecido al método de los discos pero si ustedes se acuerdan no era un disco como tal era una arandela porque una arandela pues fíjense bien lo que nosotros hacíamos era tomar entre estas dos funciones un pequeño rectángulo que tenga un ancho muy pequeño se acuerdan cuál era el grosor de este rectángulo pues claro era de x lo que queremos es que sea un grosor muy muy muy delgado y bueno la idea que teníamos detrás de todo esto era girar este pequeño rectángulo alrededor del eje de las equis y por lo tanto se dan cuenta no me sale un disco como tal me queda una arandela fíjense esta es la parte de adentro voy a dibujarla y esta es la parte de afuera voy a intentar dibujarla lo mejor que se pueda que ustedes vean que en efecto tiene una forma de arandela esta va a ser la parte de afuera la parte exterior esta es la parte interior y ahora voy a dibujar la cara de esta grande la fíjense bien este de aquí es mi cara de mi arandela la estoy dibujando bastante bien bien va bien y necesitamos también un grosor se acuerdan entonces tenemos el grosor de x este que estoy dibujando aquí es un cierto grosor fíjense bien que ya está agarrando un poco de volumen por lo tanto lo podemos visualizar como si tuviéramos una moneda en la cual se le quita la parte de en medio es decir una arandela muy bien ya la estoy dibujando aquí y creo que no me quedó nada mal imagina sea una moneda que está agujereada por el centro y bueno para sacar el volumen del sólido de revolución lo que queremos primero es el volumen de esta arandela pero antes que el volumen sería muy bueno calcular primero el área es decir el área de la cara que tenemos aquí y que es el área lo primero que vamos a hacer es sacar el área de esta moneda como si no tuviera agujero es decir sacar el área de esta circunferencia con la función superior esto quiere decir que spears el radio al cuadrado pero el radio es la función exterior y por lo tanto me queda pi que multiplica a fx elevada al cuadrado esta es el área de toda la moneda ahora a esta moneda le voy a quitar el centro es decir le voy a quitar el área que se forma cuando yo giro la función inferior alrededor del eje das equis y como es una circunferencia también me va a quedar pi que multiplica al radio al cuadrado pero en este caso el radio es la función inferior por lo tanto me queda pi que multiplica a la función inferior que en este caso era de equis pero como es el radio del cuadrado hay que elevarla también al cuadrado es decir pi por el radio que es gd x elevado al cuadrado lo único que estoy haciendo es sacando el área del agujero que tenemos en la moneda porque qué creés justo el área que estoy buscando es la diferencia entre estas dos áreas es decir con esto ya saqué el área de la arandela fíjense que aquí ya tengo una función arriba y una función abajo es decir una función superior y una función inferior y haciendo esto estoy sacando el área de esta arandela ese factor y si me queda que el área es igual a pi que multiplica quién una parte a efe x elevado al cuadrado pero dejan de escribir lo mejor de esta manera f x elevado al cuadrado menos gtx elevado al cuadrado y así me ahorro un paréntesis entonces ya tengo por fin déjenme ponerlo con amarillo para que quede más ordenado todo esto y ya con esta expresión tengo el área de la cara que tenemos de la arandela si yo quiero el volumen hay que multiplicar todo esto por el grosor pero el grosor era de x por lo tanto me queda pi por fx elevado al cuadrado menos gtx elevado al cuadrado y todo esto lo voy a multiplicar por el grosor para sacar el volumen entonces todo esto lo multiplicamos por de x y así obtengo el volumen de una arandela de esta grande la que tengo dibujada aquí pero como nosotros queremos la suma de todas las arandelas que están entre estas dos funciones lo que tengo que hacer es tomarme la suma de todos estos volúmenes y hacer que de x sea muy pequeño es decir tomar el límite cuando de x es muy pequeño para tomar una infinidad de arandelas las cuales van a ser muy delgadas y por lo tanto voy a obtener la integral sin embargo es una integral definida definida entre qué puntos y bueno pues podemos tomar dos puntos arbitraria y pueden ser los puntos de la intersección de estas dos funciones o pueden ser que no sean la intersección de estas dos funciones sin embargo para verlo de una manera general voy a decir que la integral es de ave de toda esta expresión que yo tengo aquí es decir del volumen de las arandelas y recuerdan que detrás traigo la suma de todas los volúmenes de todas las arandelas y el límite cuando de x es muy pequeño es decir las arandelas son muy delgadas y bueno para probar esta expresión que acabamos de encontrar vamos a echar la andar con las mismas funciones que vimos en el vídeo pasado si se acuerdan en el caso pasado gtx era igual a x mientras que f x era igual a la raíz cuadrada de x entonces vamos a meterlas en esta nueva fórmula que acabamos de encontrar para ver si funciona entonces el volumen es igual a la integral y se acuerdan los puntos donde se interceptaban estas dos funciones eran entre 0 y 1 recuerden que podemos tomar cualquier intervalo pero en esta ocasión me voy a tomar el intervalo en donde se interceptaban estas dos funciones que da el intervalo de 0 hasta 11 es lo mismo que la raíz cuadrada positiva de 1 por lo tanto estas dos funciones en esos dos puntos son iguales de quien de piqué multiplica a fx elevado al cuadrado pero la raíz de x elevada al cuadrado pues es lo mismo que x menos gtx elevado al cuadrado es decir gx es x elevado al cuadrado me queda x cuadrada y todo esto lo voy a multiplicar por de x que es el grosor y bien ahora que ya tengo esto voy a sacar primero a piqué es la constante y me queda pi que multiplica el integral de cero a uno de x men x cuadrada de x y ahora sí busquemos las anti derivadas la anti derivada de x x cuadrado entre 2 esto está muy sencillo menos la anti derivada de x cuadrada que es x cúbica entre 3 le sumamos en el exponente y lo dividimos entre este mismo número y esto evaluado de 0 a 1 así que vamos a hacer la evaluación me queda que es lo mismo que piqué va a multiplicar déjenme ponerlo aquí esto va a ser lo mismo que problemas de espacio pero ya ese espacio esto va a ser lo mismo que pi que multiplica a bueno me queda uno elevado al cuadrado entre 2 es lo mismo que un medio menos uno elevado al cubo entre 3 que es lo mismo que un tercio entonces me queda un medio menos un tercio y después si yo evalúan 0 me queda 0 al cuadrado 200 entre 30 es decir todo esto evaluado en 0 se va no es necesario ponerlo y solamente me queda un medio menos un tercio y que creen un medio menos un tercio fue justo lo que hicimos en el vídeo pasado esto de aquí es lo mismo que un sexto y por lo tanto obtuve el mismo resultado es lo mismo que pitt sextos de unidades de área y que cree no obtuve lo mismo que en el vídeo pasado y es que la razón de que llegamos a lo mismo es que esta es la fórmula ya generalizada de lo que vimos en el ejemplo anterior lo que logré en este ejercicio fue que este método de las arandelas generaliza el volumen de los sólidos de revolución que hay al girar el área entre dos funciones alrededor del eje de las x así que nos vemos en el siguiente vídeo
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