Aceleración promedio en un intervalo

supongamos que tenemos una partícula que está viajando en una dimensión y su posición en función del tiempo está dada por t cubica + 2 sobre t cuadrada lo que quiero que hagas es que le pongas pausa el vídeo y calcule es cuál es la aceleración promedio la aceleración promedio sobre el intervalo cerrado desde que t es igual a 1 hasta que t es igual a 2 cuál es el valor de esto supongo que ya lo intentaste y lo primero que pudiste notar es que estamos tomando el promedio una función que no conocemos conocemos la función de posición pero no conocemos la función que nos da la aceleración afortunadamente sabemos que la aceleración es la derivada con respecto al tiempo de la velocidad mientras que la velocidad es la derivada con respecto al tiempo de la posición así es que para obtener la aceleración derivamos dos veces esta función para posteriormente obtener el promedio sobre el intervalo hagamos eso derivamos dos veces esta función pero antes voy a reescribir esto de tal manera que sea más fácil derivar lo si dividimos cada uno de estos términos entre t cuadrada vamos a obtener que cubica sobre t cuadrada es igual a t 2 sobre t cuadrada que podemos escribir como dos por t a la menos 2 y ahora calculamos la derivada así es que vd t la velocidad en función del tiempo es igual es la derivada de esto con respecto al tiempo esto va a ser la derivada de t con respecto a t que es uno más veamos menos 2 por 2 es igual a menos 4 que multiplica a t elevada a la menos dos menos uno que multiplica t elevada a la menos tres bien ahora para encontrar la aceleración como función del tiempo simplemente derivamos esto con respecto al tiempo así es que la aceleración como función del tiempo es igual a déjame usar mejor otro color para mantener ese verde para la aceleración promedio entonces la aceleración como función del tiempo es igual vamos a derivar esta función la derivada de una constante es igual a cero pues la función no cambia y la derivada de esto es menos 3 x menos 12 que multiplica a t elevada a la menos tres menos 1 t elevada a la menos 4 y ahora para encontrar la aceleración promedio la aceleración promedio básicamente tenemos que calcular la integral definida de esta función sobre el intervalo y dividirla entre el tamaño del intervalo así es que esto es igual a dividimos entre la longitud del intervalo que es uno sobre dos menos uno que es uno que multiplica a la integral definida desde uno hasta dos de la función de aceleración que es 12 por t elevado a la menos 4 dt y esto cuánto nos da bien de nueva cuenta esto es uno sobre uno simplemente uno y ahora tomamos la anti derivada de esto la cual nos da bien vamos a ponerla directamente aquí esto es igual entonces t elevado a la sumamos un al exponente menos 41 es sería de al menos 3 por 2 se dividió entre menos 3 y esto es igual ignorando constantes por supuesto a menos 4 que multiplica a t a la menos 3 y ya teníamos este resultado aquí claro aquí teníamos una constante pero al tomar la integral definida esas constantes se van a cancelar al restar el límite superior del inferior se van a cancelar así es que la anti derivada de 12 por t a la menos 4 es sumando 1 al exponente nos da t a la menos 3 que multiplica a 12 entre menos 3 que es menos cuatro menos cuatro por t al menos tres que tenemos que evaluar en el límite superior inferior en dos y en uno y esto es igual a evaluamos la función en el límite superior del intervalo que sería menos 4 que multiplica a 2 elevado a la menos 3 menos 4 que multiplica a 2 elevado a la menos 3 1 sobre 81 octavo ya eso le vamos a restar el valor de la función en el límite inferior lo cual es igual 4 x 1 elevado al menos 3 que es 1 así es que tenemos que restarle menos 4 y esto a cuánto nos va a dar igual esto es igual al menos 4 entre 8 esto es igual a menos un medio menos 4 por un octavo es igual a menos un medio ya eso le restamos menos 4 es decir más 4 finalmente 4 menos un medio es igual a tres enteros un medio o si lo queremos escribir como una fracción impropia esto es igual a 7 medios así es que el valor de la aceleración promedio sobre el intervalo es igual a 7 medios si la posición está dada en metros y el tiempo en segundos la aceleración promedio sería siete medios metros por segundo al cuadrado aceleración promedio entre el tiempo igual a un segundo y el tiempo igual a dos segundos