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Curso: Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB) > Unidad 8

Lección 3: Utilizar funciones de acumulación e integrales definidas en contextos aplicados

Analizar problemas que involucran integrales definidas

La interpretación de las integrales definidas como acumulación de cantidades puede usarse para resolver diversos problemas verbales del mundo real.

Los problemas de acumulación (o de cambio neto) son problemas verbales donde la razón de cambio de una cantidad está dada y se nos pide calcular el valor de la cantidad acumulada a lo largo del tiempo. Estos problemas se resuelven por medio de integrales definidas. Veamos cómo se hace.

Los problemas de acumulación se resuelven con integrales definidas

Imagina que se nos da la siguiente información:

La temperatura de una sopa crece a una razón de $r (t) = 30 e^{- 0.3 t}$ ‍ grados Celsius por minuto (donde $t$ ‍ es el tiempo en minutos). En el tiempo $t = 0$ ‍, la temperatura de la sopa es de $23$ ‍ grados Celsius.

E imagina que se nos pide encontrar la cantidad por la cual la temperatura aumentó entre $t = 0$ ‍ y $t = 5$ ‍ minutos. Este es un problema verbal de acumulación (o cambio neto). Podemos decir que lo es porque se nos da una función que modela la razón de cambio de una cantidad y se nos pregunta sobre el cambio en esa cantidad en un intervalo de tiempo.

Para cualquier cantidad cuya razón está dada por la función

r

, la integral definida

\int_{a}^{b} r (t) d t

describe la cantidad por la cual esta cambió entre

t = a

t = b

Así, en nuestro caso, la cantidad por la cual la temperatura creció entre

t = 0

t = 5

minutos está dada por

\int_{0}^{5} r (t) d t

\int_{0}^{5} r (t) d t \approx 77.7

grados Celsius

Ahora imagina que se nos hace una pregunta diferente: ¿cuál es la temperatura de la sopa a los $t = 5$ ‍ minutos? Observa que ya no estamos lidiando con un cambio, sino con un valor real. ¡Pero no temas, porque las integrales definidas también pueden ayudarnos con este problema! Lo único que necesitamos hacer es sumar la condición inicial.

Recuerda que se nos dijo que la temperatura de la sopa al tiempo

t = 0

era de

23

grados Celsius. Si sumamos esta cantidad al cambio en la temperatura entre

t = 0

t = 5

, obtenemos la temperatura en

t = 5

\underset{temp. en t = 0}{\underset{⏟}{23}} + \overset{cambio en la temp. entre t = 0 y t = 5}{\overset{⏞}{\int_{0}^{5} r (t) d t}}

Como ya calculamos

\int_{0}^{5} r (t) d t

, podemos decir que a los

t = 5

minutos, la temperatura fue de

23 + 77.7 = 100.7

grados Celsius. ¡Está hirviendo!

Problema 1

Considera el siguiente problema:

La población de un pueblo crece a una razón de $r (t) = 300 \cdot e^{0.3 t}$ ‍ personas por año (donde $t$ ‍ es el tiempo en años). En el tiempo $t = 2$ ‍, la población del pueblo es de $1200$ ‍ personas. ¿Cuál es la población del pueblo en $t = 7$ ‍?

¿Cuál expresión podemos usar para resolver el problema?

Error común: utilizar equivocadamente las condiciones iniciales

Algunos problemas de acumulación piden un cambio neto, y otros un valor real. La diferencia es que cuando buscamos un valor real debemos usar las condiciones iniciales.

Un error común sería usar las condiciones iniciales cuando se nos pide un cambio neto, o no usarlas cuando se nos pide un valor real.

Error común: usar diferenciación en vez de integración

Los problemas verbales aplicados son comunes tanto en el cálculo diferencial como en el cálculo integral. Cuando se nos da un problema verbal, debemos decidir si la solución involucra derivadas o integrales. Hacer la elección equivocada por supuesto resultará en la respuesta equivocada.

Las derivadas son útiles cuando se nos da una cantidad y se nos pregunta sobre su razón, mientras que las integrales son útiles cuando se nos da una razón y se nos pregunta sobre la cantidad.

	¿Qué se nos da?	¿Qué falta?	¿Qué usar?
Cálculo diferencial	Cantidad	Razón	Derivada
Cálculo integral	Razón	Cantidad (o cambio en la cantidad)	Integral

Problema 2

Considera el siguiente problema:

La profundidad del agua en un tanque cambia a una razón de $r (t) = 0.3 t$ ‍ centímetros por minuto (donde $t$ ‍ es el tiempo en minutos). En el tiempo $t = 0$ ‍, la profundidad del agua es de $35$ ‍ centímetros. ¿Cuál es el cambio en la profundidad del agua durante el cuarto minuto?

¿Cuál expresión podemos usar para resolver el problema?

Error común: mala elección del intervalo de integración

Como acabas de ver, escoger el intervalo correcto de integración es fundamental para llegar a la respuesta correcta. Asegúrate de que no estás escogiendo los límites incorrectos, especialmente para el punto inicial, que usualmente se ignora.

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

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