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Transcripción del video

queremos encontrar el área de esta región que estoy sombreando en amarillo esta región de acá la dificultad en este problema va a ser que aunque la función inferior siempre es x cuadrada entre 4 menos 1 pues arriba estamos en dos casos verdad en un cachito es raíz de equis y en el otro es 2 menos x entonces lo que vamos a hacer es justamente dividir en estos dos casos para poder hacer las cuentas una por una y mira observa que 2x y raíz de x se intersectan aquí en el punto 11 porque si ponemos aquí x igual a 1 nos queda 1 y acá también nos queda igual a 1 de esta forma los dos casos en los que tenemos que dividir es cuando vamos del 0 al 1 esto nos daría una primera región déjame marcar esta región pues así con amarillo pero ahora más fuerte está ya va a ser la región amarilla vale y la segunda región la segunda región va a ir de 1 a 2 puedes verificar que la curva morada y la roja se intersectan aquí en el punto 20 entonces el segundo caso lo voy a marcar con color verde con este color verde de por acá entonces ahí tenemos el segundo caso muy bien con esto en mente pues pues vamos a hacerlo no vamos a resolver el problema entonces cuánto nos quedaría el área amarilla pues el área amarilla sería la integral la integral que va de 0 a 1 de la función que queda por arriba es raíz de x raíz de x menos esta función de acá la que queda por abajo - x cuadrada entre 4 -1 de x recuerda la intuición que está detrás de hacer esto déjame ponerle x un poco más bonita la intuición que está detrás de esto es que esto nos hace rectángulos de este lado donde el largo es de x pero que es infinitamente flaco pero la altura es la diferencia entre las dos funciones entonces al hacer la integral estamos tomando un límite de una aproximación y por tanto estamos sumando el área de una infinidad de rectángulos infinitamente flacos y eso nos da el área nos da el área estas dos regiones muy bueno entre estas dos curvas vale bueno esto de aquí fue el área amarilla vamos ahora con el área verde la de esta región de acá entonces a esta área vamos a tener que sumarle la integral de 1a 2b y ahora la curva que queda por arriba es la de 2 x 2 menos x ya eso tenemos que restar lo que está por abajo que vuelve a hacer x cuadrado entre 4 menos 1 b x muy bien aquí ya tenemos planteada el área ahora nada más tenemos que encontrar el valor de estas integrales y para eso vamos a utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo entonces esto nos queda igual y lo primero que hay que hacer es encontrar una una anti derivada para esto pero primero déjame déjame simplificar un poquito para que estos menos no nos confundan siempre pueden y de hacer eso entonces nos queda raíz de x - equis cuadrado entre 4 aquí menos por menos es más 1d x más y ahora vamos a poner la segunda nos queda la integral de 1 a 2 de 2x es más quizás debería apuntar este 2 con este menos menos uno que es más 1 entonces voy a ponerlo como 3 - x - x cuadrado entre 4 entre 4 de x ahora si a éstas les voy a encontrar una anti derivada y vamos a evaluar entonces pues raíz de xx a la un medio entonces tenemos que aumentar el exponente en 1 x a la 3 medios y dividir entre este 3 medios que es lo mismo que multiplicar por dos tercios va luego menos una anti derivada para x cuadrado es x al cubo entre 3 pero con este 4 nos quedaría x al cubo entre 12 y una anti derivada para uno es x mas x si derivamos x nos queda uno muy bien esta de acá tiene el límite superior 1 e inferior 0 y a eso hay que sumarle una anti derivada para ésta con límites de 1 a 2 y vamos a ver que queda un anti derivada para 13 es 3 x para menos x es menos x cuadrado entre 2 si al derivar el 2 baja y se cancela con este menos x al cubo entre 12 está ya lo habíamos hecho por allá verdad x al cubo entre 12 12 excelente ya tenemos las anti derivadas ahora nada más hay que encontrar el numerito verdad vamos a ver cuánto nos da evaluando entonces voy a poner un primer paréntesis aquí si le ponemos x igual a 1 nos queda 1 a la tres medios es un 1 todos estos son unos entonces nada más nos quedan los coeficientes nos queda dos tercios menos un doceavo más uno sale ya eso hay que restarle esta función de evaluar en cero pero tenemos puros 000 y cero y ahora hay que sumar lo que corresponda a este término de acá entonces cuánto sería éste se ve un poco más interesante 3 x 12 6 - 2 al cuadrado es 4 entre 12 2 muy bien - ahora es 2 al cubo entre 8 2 al hub es perdón entre 12 donde el juves 8 entre 12 812 a vos entonces eso es evaluando en el límite superior menos lo que quede de evaluar en el límite inferior que es 33 menos un medio menos un doceavo muy bien entonces aquí está la expresión que queremos bueno que nos va a dar el área de la integral entonces ya nada más queremos hacer la suma y resta de fracciones vamos a ver si me sale vamos a ver si me sale esto sería igual a creo que un buen denominador sería 12 verdad si 12 se ve como un buen denominador común entonces dos tercios es lo mismo que 8 12 a 28 12 ambos menos un doceavo más 12 doceavos ok este 0 ya no lo voy a poner y ahora vamos a pasar todo esto a 12 a 26 - dos es 44 es 48 doceavos voy a ponerlo así 48 doceavos menos 8 12 a vos y aquí hay que ser cuidadosos con los signos 1336 doceavos entonces es menos 36 12 años pero aquí es menos por menos nos queda más un medio entonces sería más 612 ambos y finalmente menos por menos es más 12 ok ya nada más hay que hacer la cuenta de esto a ver cuánto nos dan a ver en el primero nos queda 8 12 años + 12 12 años van 20 menos uno son 19 19 12 a vos y ahora con los números verdes nos queda 48 menos 8 es 40 40 menos 36 menos 36 64 4 6 10 y 6 y 10 12 11 ok lo hice lento para ver que no no me equivocaré entonces nos quedan 19 12 años más 11 12 años y esto es igual a lo voy a poner ya con color blanco esto es igual a 30 12 a 2 y si queremos simplificar podemos dividir arriba y abajo entre 6 y nos queda 5 medios o bien 2.5 entonces dividiendo esta región en dos partes determinamos que el área determinamos que esta área que queríamos encontrar es igual a 2.5 unidades cuadradas
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