Ejemplo del teorema del valor medio: un polinomio

digamos que tengo una función en fx y que esta función fx va a ser x cuadrada menos 6 x más 8 muy bien entonces lo que quiero hacer en este vídeo es ver cuál es el punto ce o alguno de los puntos ce tales que la derivada en ese punto coincide con con la tasa de cambio promedio de esta función en algún intervalo y digamos para fijar ideas vamos a decir que va a ser en el inem en el intervalo 2 coma muy bien entonces esta función vamos a definirla en el intervalo 25 claramente esta función es continua verdad es un polinomio así que esta función es continua de hecho en cualquier número real también es derivable en cualquier punto x de la línea real de la recta numérica muy bien entonces lo que vamos a hacer es hallar hallar un punto ce que se encuentre en el intervalo abierto 25 ok tal que tal que la derivada en ese punto f prima en ce sea igual a la tasa de cambio promedio de la función en este intervalo que eso es f de 5 - efe dos hubs s 2 se ve muy feo efe de 2 entre 5 menos 2 muy bien y sabemos que este punto debe existir pues se se satisface el teorema del valor medio verdad así que vamos a ver bueno primero que nada quiero invitarte a que hagas una pausa y que pienses tú cómo encontrarías esta c para qué esta esta igualdad se cumpla entonces para poder hacer eso digamos necesitamos calcular efe de 5 cuánto vale efe evaluado en 5 entonces 5 al cuadrado son 25 menos 6 por 5 son 30 más 8 y estos son 25 menos 30 son menos cinco más ocho son tres muy bien cuánto vale efe 2 efe de 2 son 2 al cuadrado que son 4 menos dos por 6 son 12 entonces 4 menos 12 es menos 88 vale cero así que esto de aquí va 3 - 0 entre 5 menos dos que es 3 y esto vale 1 entonces necesitamos hallar un punto tal que la derivada en ese punto sea uno muy bien así que quien es la derivada de esta función tenemos la derivada de la función efe 2x menos 6 muy bien y necesitamos que esto sea igual a 1 queremos encontrar la equis para que esta derivada sea igual a 1 entonces si sumamos 6 de ambos lados tendremos 2x igual a 16 que es 7 y por lo tanto x es igual a 7 medios muy bien nuestro punto que estamos buscando son 7 medios así que el punto cox2 lo mismo es igual a 7 medios y solo para que veas que realmente estamos diciendo bien las cosas vamos a hacer la gráfica para que veamos cómo se ve esto entonces aquí vamos a tener nuestro eje y hey vamos a tener aquí el eje x al parecer la gráfica se mueve sólo en estos dos cuadrantes verdad el 1 y el 4 digamos que aquí está el 1 el 2 el 3 el 4 quizás vamos a quitar un poquito de esto en el 4 y el 5 ahí está entonces sabemos que f en 5 estrés así que aquí en el 12 el 3 entonces por aquí 1 2 3 4 5 andamos por aquí más o menos más o menos y sabemos que en 2 vale 0 muy bien es uno de los puntos donde cruza el eje x ahora sí si nos fijamos bien en esta función la podemos factorizar como x 2 x x menos 4 verdad la suma de menos 2 y 4 es menos 6 su producto es 8 entonces está bien esta factorización y entonces sabemos que además otro punto donde cruza el eje x es en 4 entonces tenemos estos dos puntos por donde pasa este tercero y por lo tanto el punto digamos dónde tiene su mínimo está justo en 3 ahora cuánto valen 3 tendríamos de 3 serían 9 menos 3 por 6 que son 18 ahí serían 9 menos 18 son menos 9 más 8 es menos 1 entonces aquí vale menos 1 y aquí más o menos tenemos una idea de cómo se ve nuestra parábola muy bien ahí está y entonces se igual a 7 medios que esencialmente son como 3.5 en 3.5 la derivada debe coincidir con la pendiente de esta línea con la pendiente de esta línea y más o menos se ve que sí es cierto verdad sí aquí han del 3 y medio más o menos esta sería la pendiente de la recta tangente en ese punto