Optimización: áreas de un triángulo y de un cuadrado (parte 1)

digamos que tengo un alambre de 100 metros y vamos a dibujar este alambre que tiene 100 metros de longitud que todo esto es una longitud de 100 metros ok y voy a hacer algún corte en la en algún lugar de este alambre por ejemplo digamos solo vamos a hacer un ejemplo que aquí fuera el corte y de tal suerte que lo que voy a hacer con este lado izquierdo con este lado izquierdo es un triángulo ok un triángulo y que además ese triángulo sea equilátero muy bien mientras que de este lado con lo que tenga de longitud de este lado voy a hacer un cuadrado ok entonces este alambre al cortarlo con la parte izquierda vamos a hacer un triángulo y con la parte derecha vamos a hacer un cuadrado entonces con esta longitud este digamos y esta longitud es x entonces queda claro que por ser equilátero es cada uno de los lados es x sobre 3 verdad con este pedazo de alambre lo divido en 3 y puedo hacer cada uno de los de este triángulo mientras que cada lado del cuadrado será de 100 menos x sobre 4 verdad porque porque si éste mide x y todo esto mide 100 entonces pues a éste le corresponde ser 100 menos equis verdad al sumar estos dos nos debe dar 100 entonces cada uno de estos lados mide 100 menos x entre cuatro verdades este lado azul partirlo en cuatro pedazos pero bueno la pregunta para ti para mí es bueno para todos es cuál es el punto ideal en donde vamos a hacer el corte para minimizar el área combinada del triángulo y el cuadrado ok entonces para eso necesitamos dar una expresión del área en términos de x que es la longitud en al cual voy a hacer mi corte entonces vamos a empezar digamos con este triángulo equilátero vamos a ver cómo se expresa el área más o menos de esta forma y nosotros pues digamos que lo podemos hacer en general digamos si éste tiene longitud s de de cada uno de los lados sabemos que el área de cualquier triángulo en particular este pues es la mitad de la base la base por la altura verdad esto es básico del cálculo de áreas de triángulos en este caso cuánto mide nuestra base pues entonces el área es si esto consideramos nuestra base es un medio de s por la altura ok ésta va a ser nuestra altura nuestra altura h ahora lo que necesitamos es determinar esta h en como función de s y cómo vamos a hacerlo bueno consideremos este triángulo izquierdo este triángulo izquierdo de aquí si nos damos cuenta de guaqui quizás el dibujo no es muy apropiado déjenme corregirlo un poco pero esto por ser altura sabemos que forma un ángulo de 90 grados verdad y si forma un ángulo de 90 grados también sabemos que la base de este triángulo es ese sobre 2 es la mitad de esta base correcto entonces qué es lo que podemos hacer con este triángulo como es rectángulo pues podemos usar el teorema de pitágoras que nos dice el teorema de pitágoras que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa este cateto es h cuadrada más este otro cateto que es ese sobre 2 al cuadrado debe ser exactamente igual a ese cuadrada que es la hipotenusa esto no es otra cosa más que h cuadrada más s cuadrada entre 4 y debe ser igual a ese cuadrado nosotros queremos despejar h cuadrado entonces escribir h cuadrada es igual a s cuadrada menos s cuadrada sobre 4 y para poder hacer bien esta operación podemos poner aquí que es 4 s cuadrada entre 4 verdad para tener un común denominador entonces y aquí tenemos cuatro cuartos menos un cuarto pues son tres cuartos de s cuadrada 13s cuadrada sobre cuatro entonces finalmente h cuadrada es 3 s cuadrada sobre 4 que si sacamos la raíz cuadrada tendremos que h es raíz de 3 por s sobre 2 muy bien entonces ya tenemos esta altura esta altura ya la tenemos podemos sustituirlo y tendremos que el área el área es igual a un medio de la base que es s por la altura que es raíz de 3 por s sobre 2 entonces si realizamos todas estas operaciones por ejemplo un medio por un medio es un cuarto aquí tendremos raíz de 3 s por ese es ese cuadrada ya habíamos dicho un medio por un medio un cuarto entonces este valor es el valor del área de un triángulo con base ese entonces ya escribimos que nosotros queremos calcular el área combinada pues el área combinada no es otra cosa más que la suma de las áreas verdad la suma del área del triángulo más el área del cuadrado muy bien entonces si sustituimos esto tendremos que el área del triángulo es esto que obtuvimos aquí donde la base quien es x entre 3 verdad entonces tengo raíz de 3 sobre 4 por la base que es x sobre 3 al cuadrado verdad es el papel de ese lo juega x entre 3 y después tendremos que sumar el área de este cuadrado que es base por altura verdad y la base como es igual que la altura es 100 menos x sobre 4 al cuadrado 100 - x sobre 4 al cuadrado ok y esto es el área combinada esto es el área combinada y lo podemos poner en términos de x muy bien esto es lo que necesitamos minimizar aquí tenemos qué mini a mí ni a mí ni me sale esta función es la que hay que minimizar y eso es lo que haré en el próximo vídeo