Optimización: áreas de un triángulo y de un cuadrado (parte 2)

donde nos quedamos en el último vídeo llegamos a una expresión como función de x basados en el punto donde hicimos el corte sobre el segmento y ahora necesitamos ver cuál es su valor mínimo y para hacerlo necesitamos calcular su derivada ver donde no está definida o si es cero en algún punto y sólo faltaría asegurarnos de que ese es un valor mínimo así que déjenme reescribir un poco esto porque el área combinada el el área combinada en términos de x pues por un lado es si desarrollamos esto es raíz de 3 x x cuadrada sobre 4 x 3 al cuadrado que son 99 4 por 9 son 36 y ahora sumamos la otra parte que es 100 menos x al cuadrado sin menos x al cuadrado sobre 4 al cuadrado que son 16 16 muy bien entonces ya con esta expresión podemos calcular más fácilmente la derivada quien es la derivada de la función del área combinada en términos de x simplemente es derivar x cuadrada que es dos veces la raíz de tres perdón es 2x por esto y entonces nos queda raíz de 3 por equis y como dice perdón multiplicamos por 2 y aquí dividimos entre 36 nos queda aquí 18 más ahora aquí podemos usar la regla de la cadena porque tenemos algo al cuadrado y eso es dos veces 100 - x por bueno y aquí como va un 2 y dividimos entre 16 nos queda aquí sobre 8 y hay que multiplicar por la derivada de esto de adentro verdades usando la regla de la cadena que es menos ok y ahora esta es la derivada de hecho bueno podríamos podríamos hacer un poquito más de álgebra y tenemos raíz de 3 por equis sobre 18 más más aquí aquí tenemos menos 1 por menos x es más un octavo de equis y luego también tenemos menos 1% son menos 100 sobre 8 que esos son menos 12.5 verdad y entonces ahora si queremos encontrar un punto x tal que al evaluar esta expresión en ese punto de x nos dé 0 muy bien y esto es realmente sencillo por ejemplo si sumamos de ambos lados 12.5 tenemos 12.5 es igual a la raíz de 3 por equis o déjenme incluso hacer esto porque aquí ya tenemos puras cosas que dependen de x verdad entonces podemos factorizar y tenemos raíz de 3 sobre 18 más 1 octavo todos estos multiplican o este para multiplicar a x entonces de aquí despejar x es muy sencillo porque simplemente pasamos esto dividiendo entonces tendremos que x es igual a 12.5 sobre esta expresión que es raíz de 3 sobre 18 más un octavo y ya hemos llegado al único punto crítico que podemos tener en este en este problema lo único que nos falta verificar es que en efecto sea un mínimo y eso dependerá de si la función alrededor de este punto es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo muy bien entonces de hecho vamos a ver bueno esta expresión es la derivada entonces déjenme copiarla esto es la derivada del área combinada es igual a raíz de 3x sobre 18 más un octavo de x menos 12.5 entonces para ver la concavidad de esta de esta función necesitamos calcular la segunda derivada del área combinada y esto simplemente es derivar bueno esto es una constante entonces me queda raíz de 3 sobre 18 verdad la derivada de esto un octavo que es la derivada de esto y si nos damos cuenta este numerito de aquí siempre es más grande que cero entonces nuestra función es cóncava hacia arriba cóncava hacia arriba y cuando digo que la función es cóncava hacia arriba quiere decir que la función la función más o menos se ve como de esta forma verdad entonces si nosotros tenemos un punto crítico es decir aquel punto donde la derivada se anula quiere decir que este de aquí es un mínimo verdad entonces este punto de aquí como la segunda derivada es siempre positiva este punto de aquí es un mínimo ahora bien esto realmente no nos dice mucho de cuánto vale verdad es un poquito intratable esta expresión pero vamos a tratar de calcularlo usando la calculadora entonces tenemos 12.5 que hay que dividirlo entre toda una expresión que es la raíz de hecho expresarlo así que es la raíz cuadrada de 3 ok creo que ya la ruina va de nuevo 12.5 / no otra vez 12 12.5 / ahora sirva la raíz cuadrada de 3 la raíz cuadrada de 3 sobre sobre 18 sobre 18 más otra vez de verdad porque por el orden de las operaciones van de nuevo a horas y 12.5 entre y vamos a dividir entre una expresión la primera de ellas es la raíz cuadrada de 3 sobre sobre 18 es nuestra primera expresión y ahora le sumamos le sumamos otra expresión qué es 1 sobre 8 verdad y ahora sí cerramos toda expresión y le damos igual y nos queda 56.5 más o menos 56.5 entonces esto es 56.5 metros así que si cortamos aquí arriba en más o menos aquí esto es 50 y 6.5 metros aproximadamente en ese punto lo que tendremos es que el área mínima entre ambas figuras se alcanza