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Transcripción del video

nos preguntan cuál es la menor su madre cuadrados posible para dos números con producto -16 ok estoy aquí es un problema de optimización y lo que vamos a hacer es plantear el problema con algunas variables y después resolverlo con lo que hemos platicado derivadas entonces empecemos con esto con dos números vale entonces esos dos números vamos a ponerle vamos a ponerles x y llegue va entonces nos preguntan por la menor su madre cuadrados es decir queremos minimizar ese igual a x al cuadrado déjame ponerlo un poco más grande porque creo que tengo suficiente espacio ese es igual a x al cuadrado más llegue al cuadrado va hay que minimizar esta expresión y además de esos dos números sabemos que su producto que su producto es igual a menos 16 no voy a escribir por acá xg es igual a menos 16 ahora aquí tenemos dos variables x y llegué pero nosotros sabemos hacer las cosas nada más con una entonces el chiste es intentar obtener únicamente expresiones en términos de una variable digamos x y trabajar con esa variable en términos de cálculo entonces por ejemplo de aquí podemos despejar llegue para obtener y en función de x y luego sustituir la ca para hacer esto aquí despejamos llegue dividiendo entre x ambos lados y nos queda que llegue es igual a menos 16 / / sale aquí ya tenemos una expresión de llegue en términos de x que poniendo laca obtenemos que ese es igual a x al cuadrado más y aquí vamos a poner che que es menos 16 entre x 20 x elevado al cuadrado muy bien desarrollado está un poquito nos queda que ese es ese y aquí ya le podemos poner ese de x porque ya nada más depende de x es igual a x al cuadrado más y aquí vamos a a desarrollar esto -16 al cuadrado es de seis por 16 2 156 menos con menos es más entonces nos queda más 256 / / x cuadrada pero lo voy a escribir como x al menos dos para que sea más fácil derivar sale entonces eso la calle es la suma de cuadrados expresada en una sola variable entonces ya podemos derivar encontrar los puntos críticos o ver dónde bueno donde la definía la derivada y entonces podríamos encontrar el mínimo sale entonces vamos a hacer eso déjame escribir la derivada acá con este color verde a cada la derecha entonces si estoy acá ssd x s prima de x vamos a derivar nos quedaría igual a ver y vamos x al cuadrado bajó el 2 y queda x a la 1 y luego hay que sumar otra vez derivando esta esta potencia ese quizá la menos dos del -2 baja menos dos por 256 es menos 512 menos 512 por x sala y el exponente baja en 1 de -2 pasa menos tres quizá la menos tres muy bien entonces tenemos dos posibilidades para puntos críticos uno es cuando se anula la derivada y otro es cuando no está definida aquí vamos a ver cuando no está definida pues el 2x no tiene problema pero esto como es dividir entre quizá el jugo no está definido cuándo x es igual a cero pero bueno igual si x es igual a cero y está también / / / x o se ha dividido en 3 0 entonces tampoco está definido así que no le vamos a hacer caso a ese caso de ahí porque ya sería bueno podemos pensarlo como infinito entonces no sería la menor sombra bueno entonces la otra opción es que está derivada sea igual a cero es decir que 2 x menos 512 x a las menos tres sea igual a cero ok vamos a despejar x de aquí sumamos 512 x sala -3 de ambos lados nos quedaría que 2x es igual a 512 x al menos tres y x x al cubo de ambos lados tendríamos que 2x a la cuarta es igual a aquí x al cubo porque quizá la menos 13 hace 12 x a la cuarta es igual a 512 dividiendo entre dos ambos lados el 12 cancela nos queda es quizá la cuarta igual a 256 ok entonces ahora tenemos que encontrar el valor de x artista hace esto cómo le hacemos pues tenemos que sacar raíz cuadrada verdad nos queda que quizá al cuadrado es igual a 16 a 10 6 digo sacando la raíz aquí podría ser 16 o menos 16 pero es un número positivo entonces sólo puede ser 16 y sacando raíz cuadrada una vez más tenemos que x es igual a 4 o menos cuatro pero como lo son el producto de los números es -16 1 es positivo y otro negativo podemos pensar que quizá es el positivo vale dejar de ponerle por acá que x es él el que es mayor o igual que ese entonces ya es menor o igual que cero para que nos quede negativo entonces x es igual a 4 ya tenemos este punto crítico y como es el único punto crítico pues muy seguramente nos va a ayudar a encontrar la menor su madre cuadrados posible pero bueno yo por si las dudas no vaya a ser que no vamos a hacer el criterio de la segunda derivada entonces aquí ya tenemos la derivada la la primera derivada déjame pasar a este color azul claro entonces vamos a hacer la segunda derivada que ese segunda derivada de este vi prima estoy aquí es igual a aquí derivando 2x nos quedan dos y luego nos queda este la derivada estoy acá que es menos tres por 512 negativo e quizá la menos cuatro o sea a ver - por menos es más y más tres por 512 tres por 506.500 3 x 2 636 3 mil 536 y luego x nos queda elevado al menos cuatro muy bien observa esto es dividir entre quizá la cuarta y ekiza la cuarta siempre es positivo entonces esto es positivo esto es positivo y de este modo la segunda derivada siempre es mayor y hualqui sino cómo se vería el dibujito esto lo que nos dice que la segunda derivada sea mayor o igual que cero es que la función ese tiene una gráfica que es con cava hacia arriba que se ve más o menos así como una u once es el hecho de que la segunda derivada sea mayor o igual que cero es que la primera derivada empieza digamos negativa déjame ponerlo con este color al combinar ya viene el banco entonces entonces la la deriva de piezas y negativa pero la segunda derivada de su mayor o igual que será entonces la derivada va creciendo cada vez está menos inclinada la pendiente menos inclinada quise hacer pero en el mínimo verdad y luego sube y sube sus para entonces una segunda derivada mayor igual que cero nos da una función con cabeza arriba y de esta forma cuando la deriva de cero tenemos un mínimo así que en efecto x es igual a 4 nos va a dar el mínimo bueno pero nosotros queremos encontrar la suma de cuadrados ya sabemos el valor de x ahora tenemos que encontrar el valor de ye va entonces que que tendríamos déjame ponerlo con este color verde para indicar que viene acá entonces llegué sería igual a -16 dividido entre cuatro porque equivale a 4 o sea que llegue sería igual a menos cuatro a eso está bueno verdad que es menor o igual que cero como esperábamos porque quizás mayor igual que 0 y el producto es menos 16 están los dos números con productos menos 16 y finalmente regresando a la suma de cuadrados tendríamos que la suma de cuadrados es igual a x al cuadrado sea 4 al cuadrado más menos 4 al cuadrado menos cuatro al cuadrado que es igual a 16 masc y 6 verdad - al cuadrado es más que es igual a 32 muy bien aquí tenemos el resultado ya lo mejor puedes decir oye pese a lo mejor yo yo si va a encontrar estos valores están muy facilito el problema me estás diciendo que tiene el producto -16 entonces es natural pensar en cuatro y menos cuatro fases a lo mejor comprobando 4 - 4 y 2 y -8 y menos 82 y 116 iba a sacar esta solución y bueno sí pero ojo aquí nunca nos dicen que los números son enteros entonces en realidad de vista de haber sacado todos todos los casos no sólo x igual a 1 2 3 4 y a ti y no es igual a 4.333 4.01 o no sé 44 más vi o lo que sea entonces pues realmente había muchos casos que checar y bueno incluso pudo haber pasado que este producto no fuera menos 16 este producto puede haber sido 17 o o menos 19 o una cosa más fea si por ejemplo pi cuadrado en 3 084 de entre 2 entonces en ese caso no iba a ser tan fácil poder probar todos los números de hecho no me vas a poder probar todos los números hay una infinidad pero haciendo estas cuentas de cálculo si hubiera optimizado la suma de adrados así igualito bueno me voy a dejar hasta aquí nos vemos hasta la próxima
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