Problemas de movimiento: encontrar la aceleración máxima

una partícula se mueve a lo largo del eje x por lo que a cualquier tiempo t mayor o igual a cero su velocidad está dada por bp t igual a menos de al cubo más 6 d al cuadrado más 2 t a qué valor de t la partícula obtiene su aceleración máxima queremos saber cuándo es que obtiene su aceleración máxima vamos a ver nos están dando la velocidad en función del tiempo y recordemos que si tenemos la posición en función del tiempo supongamos que x dt es una posición y está en función del tiempo entonces si sacamos la derivada de esto es decir x prima de t esto será igual a la tasa de cambio de la posición con respecto al tiempo oa la velocidad en función del tiempo entonces si sacamos la derivada de la velocidad esa será la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo y por lo tanto es la aceleración en función a el tiempo entonces si nos dan la velocidad a partir de eso podemos calcular la aceleración vamos a reescribir eso sabemos que vedette es igual a menos de al cubo más 6 de al cuadrado más 2 t y a partir de esto podemos conocer la aceleración en función del tiempo pues simplemente sacamos la derivada de la velocidad con respecto a t entonces si usamos la regla de la potencia nos queda menos tres t al cuadrado más dos por seis que es 12 entonces 12 t más 2 esta es nuestra aceleración en función del tiempo y queremos saber cuándo es que logramos obtener la aceleración máxima ok y sólo para verificar esta función de la aceleración observen que es una función cuadrática pues tiene un polinomio de segundo grado y tenemos un coeficiente negativo en el término más alto es decir el de segundo grado así que esta es la función de una parábola que se abre hacia abajo miren tiene esta forma general sin duda tiene un valor máximo pero como podemos encontrar ese valor máximo bueno ese valor máximo ocurrirá cuando la pendiente de esta recta tangente sea igual a 0 y también podemos verificar que la parábola sea cóncava hacia abajo en ese punto usando la prueba de la segunda derivada es decir demostrando que la segunda derivada sea negativa en este punto entonces hagamos es analicemos la primera y la segunda derivada de la función de la aceleración usaré otro color vamos a ver la primera derivada es decir la tasa de cambio de la aceleración es igual a menos 6 t más 12 ok y ahora pensemos cuando es que esto es igual a cero bueno si restamos 12 en ambos lados de la ecuación nos queda menos 6 t igual a menos 12 y al dividir ambos lados entre menos 6 nos queda te igualados así que me pueden decir ok yo sé que esta es una parábola que se abre hacia abajo tengo un coeficiente negativo en el término de segundo grado y sé que la pendiente de la recta que pasa tangente por este punto es cero cuando t es igual a 2 por lo tanto éste será mi punto máximo y podemos ir un poco más lejos vamos a sacar la segunda derivada de la aceleración la segunda derivada de la función de la aceleración es igual a menos 6 pues la derivada de menos 6 t es igual a 6 y la derivada de una constante es 0 entonces si la segunda derivada siempre es negativa eso quiere decir que siempre será una parábola siempre será una parábola cóncava hacia abajo entonces para la prueba de la segunda derivada en dos la segunda derivada de la aceleración es negativa por lo tanto este es nuestro valor máximo el valor máximo se encuentra en t igualados entonces a qué valor de t la partícula obtiene su aceleración máxima claro cuando te es igual a 2