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Transcripción del video

en este vídeo pensaremos en el teorema del valor extremo que como veremos es un poquito más de sentido común que de cualquier otra cosa pero en todos estos teoremas siempre es muy divertido pensar en cómo están enunciados y porque están enunciados de esa forma y eso nos dará mucha más intuición al respecto entonces lo que dice el teorema del valor extremo así se llama teorema del valor extremo nos dice bueno considérate primero una función f que sea continua muy bien tienes una función continua pero debe ser continua en un intervalo cerrado a b y cuando decimos un intervalo cerrado a b y que por eso ponemos estos corchetes estamos diciendo que estamos incluyendo a llave en este conjunto muy bien entonces tomando una función continua en el intervalo cerrado podemos garantizar que existen valores máximos y bueno existen valores hay un máximo y mínimo absolutos valores máximo y mínimo absolutos muy bien y por supuesto estos valores son máximo y mínimo absolutos de f en nuestro intervalo cerrado a b muy bien entonces qué es lo que quiere decir esto esencialmente pensemos en hacer un dibujo digamos ahí tenemos el eje y el eje x muy bien y aquí voy a pintar una gráfica digamos que por aquí andea y digamos que el valor de a es este muy bien aquí está cuánto vale efe digamos que por aquí anda ve y que esto vale fpv muy bien ahí está esto es lo que vale efe dv muy bien entonces la idea es pintar la gráfica de esta función continua que que en realidad va a ser bastante arbitraria pero debe ser continua entonces por ejemplo puede ser algo así algo así y luego baja muy bien entonces tenemos esta gráfica de la función continua y bueno en realidad lo que estamos diciendo es que podemos encontrar podemos encontrar un máximo y un mínimo absoluto es decir aquí está nuestro mínimo absoluto no hay un valor más chico que ese muy bien entonces este es el valor más chico fcc para algún c y el otro nos dice que va a haber un valor máximo absoluto es decir no va a haber nadie en el intervalo ave que bajo la función sea más grande que este valor muy bien entonces aquí existe un d el otro digamos será c y c es el mínimo absoluto de la función y d es el máximo absoluto entonces en realidad cómo podemos reescribir este teorema es de la siguiente forma podemos garantizar que existen y de elementos de nuestro intervalo a ve muy bien tales que tales que que cumplen que fcc es el valor más chico entonces es menor o igual que fx verdad donde x puede ser cualquier valor de este intervalo pero al mismo tiempo cualquier valor que toman la función en este intervalo debe ser menor o igual que nuestro máximo absoluto muy bien entonces esto es para todo para todo punto x en nuestro intervalo cerrado a coma b esto es digamos el teorema del valor extremo ya expresado en términos matemáticos entonces nuevamente nos dice que podemos encontrar dos valores uno en donde va a alcanzar el mínimo absoluto quiere decir que la función no puede ser más chico que ese valor y además va a encontrar o vamos a poder encontrar otro valor de en este intervalo tal que la función en ese punto no puede bueno más bien alcanzar su máximo ya no puede alcanzar un valor grande muy bien y realmente esto sirve para cualquier gráfica de una función continua muy bien aquí por ejemplo este en realidad aquí estaba efe de a verdad esto valía de fedea pero pues puedes tú imaginarte cualquier tipo de función por ejemplo podríamos pintar una línea recta verdad y ahí de todos modos vamos a poder encontrar un mínimo y un máximo puedes incluso pensar en una función constante puedes pensar en una función constante en donde el mínimo se alcance en cualquier punto hay de hecho hasta acá hasta acá llega de verdad entonces esto llega hasta acá entonces realmente no nos dice cuántos puntos máximos absolutos ni cuántos mínimos absolutos tiene tampoco nos dice si hay un número digamos finito o si hay una infinidad de esos valores pero al menos garantizamos su existencia y este teorema no lo voy a demostrar pero vamos a tratar de familiarizarnos muy bien entonces con esto ejemplos tenemos ya al menos tres figuritas en donde es una función continua y vemos dónde se alcanza el mínimo y el máximo en la función constante por ejemplo puede ser en cualquier lado ok entonces lo que te invito es ahorita que hagas tú una pausa y trates de pensar en una función que no sea continua es decir vamos a tratar de ver por qué nos piden que sea continua así que piensa en una función continua más bien que no sea continua en un intervalo cerrado y que por lo tanto no haya valores máximo y mínimo ok entonces por ejemplo podemos pensar en este siguiente ejemplo digamos vamos a pintar nuestros ejes ahí está el eje x y el eje y muy bien y no se podríamos poner digamos que aquí está el ahí como lo estamos incluyendo porque era un intervalo cerrado entonces vamos a ponerlo así digamos que esta función va subiendo va subiendo va subiendo pero justo donde va a alcanzar su valor máximo ahí no va a estar definida tiene un agujero y luego va a bajar va a bajar va a bajar y dónde va a tener su valor mínimo tiene un agujero muy bien y vuelve a subir entonces porque podemos decir que éste no alcanza ni un máximo ni un mínimo absoluto claramente éste no es continua verdad tengo que despegar el lápiz ong en mi caso la pluma para poder terminar de pintar la gráfica entonces por ejemplo para este valor para este valor para este valor nosotros sabemos que aquí no está definido pero si nos vamos aproximando a ese valor podemos ir alcanzando valores cada vez más altos pero nunca vamos a alcanzar el máximo porque ahí no está definido muy bien entonces esa es la idea de por qué cuando no es continua el teorema no siempre es cierto muy bien no siempre puede haber ocasiones en donde si ahora la otra pregunta es porque nos piden que sea un intervalo cerrado qué pasaría si por ejemplo fuera un intervalo abierto entonces vamos a poner otro ejemplo en donde ahora aquí no lo estemos considerando y tampoco ver y podríamos pensar en un ejemplo sencillo digamos una línea la línea ahí lo tienen muy bien entonces mismo ejemplo que aquí el valor mínimo se toma en a muy bien entonces como nosotros no lo estamos considerando en el intervalo podemos aproximarnos tanto como queramos pero nunca vamos a llegar al valor mínimo tampoco al valor máximo verdad que es justo el que toma b entonces nos podemos ir aproximando cada vez más pero nunca nunca llegar al valor máximo así que hasta cierto punto este es un teorema muy intuitivo y siempre es bueno saber por qué nos piden esas condiciones en las hipótesis del teorema
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