Repaso sobre intervalos donde una función crece o decrece

Los intervalos en los que una función está aumentando (o disminuyendo) corresponden a los intervalos donde su derivada es positiva (o negativa).

Así que si queremos encontrar los intervalos donde una función aumenta o disminuye, sacamos su derivada y la analizamos para encontrar dónde es positiva o negativa (¡lo cual es más fácil de hacer!).

Encontremos los intervalos donde $f(x)=x^3+3x^2-9x+7$‍ crece o decrece. Primero, derivamos $f$‍:

$f^{\prime }(x)=3x^2+6x-9$‍

Ahora queremos encontrar los intervalos donde $f^{\prime }$‍ es positiva o negativa.

$f^{\prime }$‍ interseca el eje $x$‍ cuando $x=-3$‍ y $x=1$‍, así que su signo debe ser constante en cada uno de los siguientes intervalos:

Evaluemos $f^{\prime }$‍ en cada intervalo para ver si es positiva o negativa ahí.

Así que $f$‍ es creciente cuando $x<-3$‍ o cuando $x>1$‍ y decreciente cuando $-3<x<1$‍.

Encontremos los intervalos donde $f(x)=x^6-3x^5$‍ crece o decrece. Primero, derivamos $f$‍:

$f^{\prime }(x)=6x^5-15x^4$‍

Ahora queremos encontrar los intervalos donde $f^{\prime }$‍ es positiva o negativa.

$f^{\prime }$‍ interseca el eje $x$‍ cuando $x=0$‍ y $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$‍, así que su signo debe ser constante en cada uno de los siguientes intervalos:

Evaluemos $f^{\prime }$‍ en cada intervalo para ver si es positiva o negativa ahí.

Como $f$‍ disminuye antes de $x=0$‍ y después de $x=0$‍, también disminuye en $x=0$‍.

Por lo tanto, $f$‍ es decreciente cuando $x<{\displaystyle \frac{5}{2}}$‍ y creciente cuando $x>{\displaystyle \frac{5}{2}}$‍.