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Contenido principal
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Transcripción del video

Digamos que tenemos la función f(x) = x⁶ - 3x⁵.  Ahora bien, si usamos sólo lo que sabemos sobre   derivadas, te invito a que encuentres el intervalo  o los intervalos donde esta función decrece. Pausa   el video e inténtalo. Bien, vamos a trabajar  juntos. Sabemos que una función decrece cuando   su derivada es negativa; otra forma de decirlo  es que una función decrece cuando f'(x) ˂ 0,   así que ¿cuál es f'(x)? Bueno, podemos encontrarla  utilizando las propiedades y las reglas de la   derivada que conocemos. Vamos a aplicar la regla  de la potencia en x⁶: traemos el 6 al frente,   o lo bajamos para multiplicarlo por  el coeficiente 1 que tenemos por aquí,   y nos quedan 6x⁵, le restamos 1 al exponente,  menos, y multiplicamos el 5 por el 3, -15x⁴,   restamos 1 a la quinta potencia. Bien, y queremos  encontrar en qué intervalos esta derivada es menor   que 0. Ahora, veamos cómo podemos simplificar un  poco esta expresión. Ambos términos son divisibles   entre x⁴ y también entre 3, así que factoricemos  3x⁴, que multiplica a, si factorizamos 3x⁴, aquí   nos quedaremos con 2x y por acá tendremos -5, y  todo esto tiene que ser menor que 0. En cualquier   intervalo que esto sea verdadero, tendremos un  intervalo decreciente. Ahora, ¿cómo conseguimos   que esto sea menor que 0? Bueno, si el producto de  dos cosas es menor que 0, entonces significa que   deben de tener signos distintos: uno debe de ser  positivo y el otro negativo, o viceversa. Entonces   tenemos dos situaciones: ya sea que o 3x⁴ ˃  0 y 2x - 5 ˂ 0, este es el primer escenario. O -y utilizaremos un nuevo color-, o 3x⁴ ˂ 0  y 2x - 5 ˃ 0. De hecho trabajaremos primero el   segundo caso, porque ¿existe alguna situación  donde 3x⁴ ˂ 0? Si tomas cualquier número,   incluso si es negativo y lo elevas a la cuarta  potencia, el resultado será positivo, es decir,   no hay forma de que podamos obtener como  resultado una expresión negativa por aquí,   por lo tanto, es imposible obtener esta segunda  condición: no existe ninguna situación para algún   valor de x que haga que 3x⁴ ˂ 0, así que podemos  cancelar esta opción. Ahora, esta es nuestra mayor   esperanza. ¿Bajo qué condiciones se cumple que  3x⁴ ˃ 0? Bueno, si dividimos de ambos lados por   3 llegamos a: x⁴ ˃ 0, y si lo pensamos un poco  nos daremos cuenta de que esto es cierto para   cualquier valor de x distinto de 0, incluso  si tenemos un número negativo, por ejemplo,   -1 al elevarlo a la cuarta potencia nos dará 1  positivo, sólo 0 sería igual a 0 cuando lo elevas   a la cuarta potencia. Así que podemos decir que  esto será cierto para cualquier x distinta de 0,   es decir, diremos que x ≠ 0. Y, bueno, esta está  un poco más sencilla. Si sumamos 5 de ambos lados   obtenemos que: 2x debe de ser ˂ 5, y si dividimos  ambos lados entre 2 obtenemos que: x debe de ser   ˂ 5/2. Tal vez estemos tentados a decir "Ok,  los intervalos que nos interesan son todas las   x menores que 5/2 pero que sean distintas de  0. Ahora, ¿este es el intervalo completo donde   la función decrece?" Bueno, pensemos en lo  que ocurre en x = 0. Vamos decreciendo en el   intervalo de -∞ hasta 0 y también  decrecemos de 0 a 5/2. Entonces si decrecemos   justo a la izquierda de 0 y decrecemos justo  a la derecha de 0, también decreceremos en   0. Así que tenemos algo interesante: a pesar de  que la derivada en x = 0 es igual a 0, seguirá   decreciendo allí. Así que el intervalo que nos  interesa, el intervalo donde la función decrece,   es simplemente x ˂ 5/2. Y podemos ver esto si  graficamos la función. La grafiqué en Desmos,   y podemos ver aquí que la función decrece desde  -∞, decrece, decrece a una tasa cada vez menor,   llegamos a 0, continúa decreciendo a la izquierda  de 0 y sigue decreciendo a la derecha de 0,   entonces, para cualquier valor de x a la izquierda  de 0 el valor de la función será mayor que f(0);   mientras que para x a la derecha de 0, el valor de  la función será menor que la función evaluada en   0. Por lo que, en realidad, decrece a través de 0,  a pesar de que la pendiente de la recta tangente   en 0 es 0, a pesar de que no es negativa,  y después sigue decreciendo. Por lo tanto,   decrece para todos los valores de  x ˂ 5/2, lo podemos ver por aquí.
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