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Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB)
Curso: Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB) > Unidad 5
Lección 4: Utilizar el criterio de la primera derivada para encontrar extremos relativos (locales)- Introducción a puntos máximos y mínimos
- Encontrar extremos relativos (criterio de la primera derivada)
- Ejemplo resuelto: encontrar extremos relativos
- Ejemplo 1. Analizar errores cuando encontramos extremos
- Ejemplo 2. Analizar errores cuando encontramos extremos
- Encontrar extremos relativos (criterio de la primera derivada)
- Máximos y mínimos relativos
- Repaso sobre máximos y mínimos
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Encontrar extremos relativos (criterio de la primera derivada)
El criterio de la primera derivada es el proceso de analizar funciones utilizando sus primeras derivadas en búsqueda de puntos extremos. Este trabajo involucra múltiples pasos, por lo que necesitamos descomprimirlo en una forma que nos ayude a evitar errores u omisiones perjudiciales.
¿Y si te dijéramos que dada la ecuación de la función, puedes encontrar todos sus puntos máximos y mínimos? Bueno, ¡es cierto! Este proceso se llama el criterio de la primera derivada. Expliquémoslo de una manera que nos ayude a evitar errores u omisiones perjudiciales.
Ejemplo: encontrar los puntos extremos relativos de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, x, minus, 1, end fraction
Paso 1: encontrar f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Para encontrar los puntos extremos relativos de f, debemos usar f, prime. Así que empezamos derivando f:
Paso 2: encontrar todos los puntos críticos y los puntos donde f no está definida.
Los puntos críticos de una función f son los valores de x en el dominio de f para los cuales f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 o donde f, prime no está definida. Además de esos, debemos buscar puntos donde la función f no está definida.
Lo importante de estos puntos es que el signo de f, prime debe ser el mismo entre dos puntos consecutivos.
En nuestro caso, los puntos son x, equals, 0, x, equals, 1 y x, equals, 2.
Paso 3: analizar intervalos crecientes o decrecientes
Esto puede hacerse de muchas maneras, pero nos gusta hacerlo con un diagrama de signos. En un diagrama de signos, seleccionamos un valor de prueba en cada intervalo que está acotado por los puntos encontrados en el Paso 2 y verificamos el signo de la derivada en ese valor.
Este es el diagrama de signos para nuestra función:
| Intervalo | Valor x de prueba | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Conclusión |
|---|---|---|---|
| left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesis | x, equals, minus, 1 | f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 0, point, 75, is greater than, 0 | f es creciente \nearrow |
| left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesis | x, equals, 0, point, 5 | f, prime, left parenthesis, 0, point, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0 | f es decreciente \searrow |
| left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis | x, equals, 1, point, 5 | f, prime, left parenthesis, 1, point, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0 | f es decreciente \searrow |
| left parenthesis, 2, comma, infinity, right parenthesis | x, equals, 3 | f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 0, point, 75, is greater than, 0 | f es creciente \nearrow |
Paso 4: encontrar puntos extremos
Ahora que sabemos los intervalos donde f crece o decrece, podemos encontrar sus puntos extremos. Un punto extremo podría ser aquel donde f está definida y f, prime cambia de signo.
En nuestro caso:
- f crece antes de x, equals, 0, decrece después, y está definida en x, equals, 0. Así que f tiene un punto máximo local en x, equals, 0.
- f decrece antes de x, equals, 2, crece después, y está definida en x, equals, 2. Así que f tiene un punto mínimo local en x, equals, 2.
- f está indefinida en x, equals, 1, así que ahí no tiene un punto extremo.
Error común: no comprobar los puntos críticos
Recuerda: no debemos suponer que cualquier punto crítico es un extremo. Más bien, debemos comprobar los puntos críticos para ver si la función está definida en esos puntos y si la derivada cambia de signo en esos puntos.
Error común: no incluir los puntos donde la derivada está indefinida
Recuerda: al analizar intervalos de crecimieno y decrecimiento, debemos buscar todos los puntos donde la derivado sea igual a cero y todos los puntos donde la función o su derivada no estén definidas. Si omites alguno de estos puntos, probablemente terminarás con una tabla incorrecta de signos.
Error común: olvidar comprobar el dominio de la función
Recuerda: después de encontrar los puntos donde la función cambia de dirección, debemos comprobar si la función está definida en esos puntos. De lo contrario, no es un extremo relativo.
Practica aplicar el criterio de la primera derivada
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