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Contenido principal
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Transcripción del video

en el vídeo pasado analizamos esta gráfica de la función fx y llegamos a una conclusión interesante de los máximos y los mínimos y como estaban relacionados con los puntos críticos entonces encontramos que se había un mínimo un mínimo mínimo o sea había un máximo máximo de f de f en x igual aa entonces teníamos que a era un punto crítico a ese punto punto crítico y esto de punto crítico pre crítico es que su derivada del acero que o sea que f primera era cero o bien efe primera no estaba definida también mismos que al revés no necesariamente se valía pero lo que quiero hacer en este vídeo es encontrar un criterio adicional en términos de la derivada para ver cuando un punto es mínimo o máximo ninguna de las dos entonces vamos a empezar con este punto que era el máximo global que se llamaba x0 x 0 y vamos a ver cómo se comporta la derivada al pasar de antes de x 0 a después de x 0 sale entonces mira antes de x0 que le sucede a la derivada pues la función es creciente la función es creciente verdad conforme vamos avanzando hacia la derecha crecemos entonces eso qué quiere decir eso quiere decir que la derivada es positiva en toda esta parte de acá también puedes dibujar las rectas tangentes y ver que tienen pendiente positiva va entonces antes del punto x 0 tenemos que f prima f prima es mayor que 0 entonces la derivada es mayor que 0 y por tanto la función es creciente o al revés ahora qué sucede cruzando x0 pues al cruzar x0 como ésta ya quiere un máximo entonces ahora la pendiente va a ser negativa verdad la derivada va a tener este un valor negativo entonces aquí tenemos que f prima es menor que cero o en otras palabras que la función es decreciente entonces qué sucedió en este punto crítico que es x0 déjame escribirlo por acá vamos a ponerle que sucede en el máximo le voy a poner cuando a es máximo máximo sale o sea es el punto crítico aquí es igual a x0 entonces cuando a es máximo que sucedió sucedió que la pendiente se dio que f prima cambio de signo cambia de signo de signo de que puede ser positiva a ser negativa entonces cambia de signo más sino menos al cruzar al cruzar al cruzar a sí entonces en este punto crítico cambio de más a menos vamos a ver si nuestro criterio si tiene sentido por ejemplo vamos a ver qué sucede con este máximo global entonces aquí antes de este punto que se llamaba x2 déjame ponerle que espera que esté acá era x 1 y que estoy por a caer x 3 pero antes de cruzar x2 tenemos que la pendiente la pendiente es positiva verdad vamos para arriba la función es creciente y por tanto f prima es mayor que 0 pero al cruzar este punto x2 tenemos un cambio digo es un cambio abrupto pero es un cambio a que la pendiente ahora se vuelve negativa entonces aquí tenemos que f prima es menor que cero y acá tenemos que f prima efe prima es mayor que 0 entonces una vez más cambiamos de tener un signo positivo a tener un signo negativo en este punto que era un máximo local hasta ahorita todo va muy bien ahora también sería bueno verificar que este criterio no detecta como máximos puntos que no lo son por ejemplo este x 3 que no era ni mínimo ni máximo que le sucede pues a ver aquí tenemos que la pendiente es negativa la función es decreciente y de hecho en todo este caso de acá es decreciente verdad y justo en x 3 se hacía 0 entonces efe prima es menor que 0 aquí acá y que sucede al cruzar x 3 al cruzar x 3 la función sigue siendo decreciente y por tanto la pendiente sigue siendo negativa muy bien entonces nuestro criterio al menos no no no no nos dio un falso positivo verdad no nos dijo que x 3 fuera máximo sin que lo fuera entonces al parecer el criterio está bueno ahorita no lo vamos a demostrar nada más es para darte la idea pero ahora vamos al punto mínimo cuando hay un mínimo y creo que puedes ver a dónde va esto verdad creo que puedes ver qué va a suceder en este punto en x1 ahora qué sucede con las pendientes pues antes de x1 antes de x1 tenemos que la pendiente de las tangentes es menor que cero o sea que la derivada es negativa la función es decreciente si la función es decreciente y al cruzar x1 ahora tenemos que la función empieza a crecer y justamente empieza a crecer porque si nuestros de aquí no sería un mínimo verdad en el mínimo justo sucede que bajamos bajamos bajamos bajamos llegamos al mínimo y luego empieza a crecer entonces aquí efe prima es mayor que cero y antes de eso f prima es menor que cero escribiéndolo en palabras eso lo que nos dice es que si tenemos un punto crítico entonces y bueno y ese punto crítico es un mínimo entonces f prima cambia cambia de signo de signo - asignó más al cruzar cruzar y bueno ya nada más para verificar que si aguanta nuestro criterio vamos a ver qué sucede en el punto x 3 aquí tendríamos que ver si no cambia de menos a más pero no verdad ya vimos que está en negativo y sigue siendo negativo y por tanto nuestro criterio pues o sea x 3 no es un contraejemplo para nuestro criterio entonces ya tenemos que si es máximo cambia de más a menos si es mínimo cambia de menos a más en este punto x 3 no pasa ninguna de las dos cosas y entonces este punto x 3 no es ni máximo ni mínimo
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