Máximos y mínimos absolutos (dominio completo)

esta vez tenemos la función de x igual a x cuadrada por el logaritmo natural de x y lo que quiero hacer en este vídeo es ver si podemos encontrar los valores extremos para gdx entonces hay valores de x donde gm toma un valor máximo absoluto o un valor mínimo absoluto algunas veces puede llamarlos máximo global o mínimo global ahora lo primero que quiero hacer es pensar en cuál es el dominio para esta función g cuál es el dominio dónde está definida esta función y sabemos que bueno esto está definido para todos los números reales pero el logaritmo natural de x está definido solamente para valores positivos entonces el argumento me tiene que ser un valor positivo así que lo puedo escribir aquí mi dominio van a ser todas las x que sean mayor que 0 todos los números reales mayores que 0 y esto porque si x fuera 0 esto de aquí no estaría definido no hay ninguna potencia a la que puedas elevar para obtener 0 y el logaritmo natural de un número negativo no está definido entonces este es nuestro dominio así que nuestros valores extremos deben de estar dentro de este dominio ahora veamos si podemos encontrar algunos extremos locales y ver si algunos de ellos son buenos candidatos para los extremos absolutos entonces podemos encontrar extremos locales buscando los valores críticos así que vamos a sacar la derivada de esta función la derivada de esta función g prima de x va a ser igual y bueno para derivar esta función hay que usar la regla del producto entonces la derivada de x cuadrada es 2x la derivada del primero por el segundo como esta 2x por el logaritmo natural de x y a esto le sumamos el primero tal cual está que es x cuadrado por la derivada del segundo la derivada del logaritmo natural de x es 1 / x entonces me queda 1 / ahora bien podemos reducir esto un poco porque x cuadrada por 1 / x eso es lo mismo que x siempre y cuando nos estemos tomando las x mayores que 0 así que hasta aquí vamos bien esta es mi derivada la derivada que estaba buscando y con esta derivada voy a buscar los puntos críticos los puntos críticos son los puntos en el dominio es decir las x que son más grandes que 0 tales que que prima de x sea indefinida o sea igual a cero así que qué te parece si primero pensamos en qué puntos que prima de x es igual a cero eso quiere decir que me voy a tomar 2x por el logaritmo natural de x ok a esto le voy a sumar x y esto todo esto lo voy a hacer igual a 0 y veamos que puedo hacer aquí puedo restar x de ambos lados y me quedaría que todos x por el logaritmo natural de x esto sería igual a menos x y ahora bueno ahora se me ocurre que puedo dividir todo entre 2 x y podemos hacer eso porque sabemos que x es más grande que 0 entonces no puede ser cero si dividimos todo entre 2x me queda que el logaritmo natural de x es igual a bueno es igual a menos un medio porque si / menos x entre 2 x las x se cancelan y me queda simplemente menos un medio ahora tengo el logaritmo natural de x es igual a menos un medio o dicho de otra manera si quiero despejar la x x va a ser igual a efe elevado a la potencia menos un medio es decir x es igual a la función exponencial elevada a la potencia menos un medio recuerden que el logaritmo natural es simplemente el logaritmo en base y entonces esto es exactamente lo mismo que bueno esto lo podemos escribir como 1 entre la raíz cuadrada de elevado a la menos un medio es lo mismo que 1 entre la raíz cuadrada de entonces este es un punto en el cual nuestra derivada es igual a 0 es un valor crítico para nuestra función jefe original y de hecho este es el único lugar donde la derivada es igual a cero ahora me también te tienes que preguntar habrá otros puntos donde prima esté indefinida bueno tendría que ser puntos dentro de nuestro dominio amos que haría esto indefinido si observas 2x y x se pueden evaluar para cualquier x mientras que el logaritmo natural de x se puede evaluar en su argumento para valores mayores o iguales a cero justo lo que teníamos en el dominio x tiene que ser mayor que es cero pero es justo nuestra restricción original así que cualquier punto dentro de este dominio va a estar definido muy bien una vez que ya sabemos eso podemos decir que es solamente este va a ser mi único valor crítico así que qué te parece si dibujamos una recta numérica y vemos qué es lo que está pasando a los lados de este punto crítico así que voy a dibujar por aquí una recta numérica voy a dibujar esta recta numérica y este es mi eje x supongamos que por aquí pongo al cero y bueno por acá tengo al menos uno por acá voy a tener al uno por acá voy a tener al 2 y veamos este valor dónde está bueno uno entre raíz de esto es cercano a uno pero menor que él esto va a tomar un valor como por aquí este toma el valor de 1 entre la raíz de e muy bien y bueno nos vamos a pegar solamente las x mayores que 0 así que qué te parece si primero pensamos en este intervalo primero vamos a pensar en este intervalo si te das cuenta es el intervalo que va de 0 hasta 1 entre la raíz de ok y bueno vamos a pensar donde mi primera derivada es positiva o negativa y después tenemos este otro intervalo las x que son mayores que este valor es decir mi segundo intervalo va a ser todo esto que tengo aquí todo esto que tengo aquí que si observas es de 1 entre la raíz de hasta infinito déjame notarlo este intervalo es de 1 entre la raíz de hasta infinito muy bien ahora vamos a probar con un valor en este intervalo para ver cuánto vale su derivada y se me ocurre tomarme no sé un valor entre este intervalo aunque te parece si vemos cuánto vale que prima de 0.1 y bueno esto si lo sustituimos aquí me va a quedar 2 por 0.1 eso es 0.2 0.2 que multiplica el logaritmo natural de 0.1 ya esto le tenemos que sumar 0.1 a esto le sumamos 0.1 ahora este valor de aquí me va a dar algo negativo esto de aquí me va a dar algo negativo y de hecho algo más negativo que menos 1 ya que piense en esto he elevado a la menos 1 esto es lo mismo que uno entre esto es aproximadamente uno entre 2.7 es aproximadamente 0.3 o 0.4 a un número entre esto así que para llegar a 0.1 tiene que ser aún más negativo esto tiene que ser menor que menos 1 esto tiene que ser menor que menos 1 y si multiplicamos 0.2 por algo menor que menos 1 me dan algo menor que menos 0.2 y si a esto le sumamos 0.1 bueno en definitiva esto de aquí me va a dar algo negativo es decir que en esta parte mi primera derivada y esto es lo importante va a ser menor que es cero en este intervalo que tenemos aquí y bueno también pudimos traer la calculadora por aquí pero evaluarlo me parece más sencillo ahora veamos qué pasa en el otro intervalo en el intervalo que va desde 1 entre la raíz de hasta infinito vamos a tomarnos un valor aquí para probar el signo de la primera derivada y bueno el valor más sencillo que se me ocurre es tomarme 1 así que cuánto vale que prima de 1 bueno pues esto va a ser igual a 2 por 1 es 2 por el logaritmo natural de 1 ya esto le sumamos 1 ahora esto es muy fácil porque el logaritmo natural de 100 por 2 a todo esto 0 entonces simplemente me queda 1 lo cual tiene signo positivo eso quiere decir que aquí la primera derivada de x es mayor que 0 así que parece que nuestra función está decreciendo del intervalo 0 hasta 1 entre la raíz de y después de esto en el intervalo 1 entre la raíz de hasta infinito esta función está creciendo eso quiere decir que estamos pasando de decrecer tocamos este punto y después empezamos a crecer lo que quiere decir que nuestra función está tocando un punto global mínimo o un punto mínimo absoluto en este valor de aquí así que déjame escribirlo vamos a tener un mínimo absoluto en x igual a 1 entre la raíz de lujo y no sólo eso además no hay un máximo absoluto a medida que vamos después de 1 entre la raíz de m sabemos que nuestra función sigue creciendo y creciendo y creciendo para siempre inclusive lo pueden ver a kim x cuadrada es una función que crece de manera indefinida hasta el infinito y el lugar es natural de x es una función que también crece pero más lento que x cuadrada pero todavía irá sin límites hacia el infinito así que no hay un punto máximo absoluto déjame notarlo también sabemos que no hay un máximo absoluto qué te parece si ahora vemos la gráfica de esta función para sentirnos bien de lo que acabamos de hacer de esta manera analítica vamos a verlo por acá déjame bajar un poco la pantalla y déjame traer por aquí la gráfica de esta función así que voy a copiar y pegar y ya está ahora puedes ver que este valor de aquí es igual a 1 entre la raíz cuadrada de iu además puedes ver que en efecto tenemos un mínimo yo no era tan obvio verlo así pero ahora podemos apreciar que este es un mínimo absoluto y además que no tenemos un punto máximo absoluto solamente hay valores que crecen y crecen y crecen indefinidamente