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Transcripción del video

esta vez tenemos la función gdx iguala x cuadrada por el logaritmo natural de x y lo que quiero hacer en este vídeo es ver si podemos encontrar los valores extremos paraje de x entonces hay valores de x donde hem toma un valor máximo absoluto o un valor mínimo absoluto algunas veces puede llamarlos máximo global o mínimo global ahora lo primero que quiero hacer es pensar en cuál es el dominio para esta función g cuál es el dominio donde está definida esta función y sabemos que esto está definido para todos los números reales pero el logaritmo natural de x está definido solamente para valores positivos entonces el argumento tiene que ser un valor positivo así que lo puede escribir a kim mi dominio van a ser todas las x que sean mayor que 0 todos los números reales mayores que cero y esto porque si x fuera cero estoy aquí no estaría definido no hay ninguna potencia la que pueda elevar para obtener 0 y el logaritmo natural de un número negativo no está definido entonces este es nuestro dominio así que nuestros valores extremos deben de estar dentro de este dominio ahora veamos si podemos encontrar algunos extremos locales y ver si algunos de ellos son buenos candidatos para los extremos absolutos entonces podemos encontrar extremos locales buscando los valores críticos así que vamos a sacar la derivada de esta función la derivada de esta función g prima de x va a ser igual y bueno para derivar esta función hay que usar la regla del producto entonces la derivada de que es cuadrada esa 2x la deriva del primero por el segundo como ésta 2x por el logaritmo natural de x ya esto le sumamos el primero tal cual están que es x cuadrada por la derivada del segundo la derivada del hogar y natural de kiss es uno entre x entonces me queda uno / x ahora bien podemos reducir hasta un poco porque es cuadrada por uno / x eso es lo mismo que x siempre y cuando nos estemos tomando las x mayores que cero así que hasta aquí vamos bien esta es mi derivada la derivada que estaba buscando y con esta derivada voy a buscar los puntos críticos los puntos críticos son los puntos en el dominio es decir las x que son más grandes que 0 tales que reprima de quizás sea indefinida o sea igual a cero así que qué te parece si primero pensamos en qué puntos que prima de x es igual a cero eso quiere decir que me voy a tomar dos equis por el logaritmo natural de x ok a esto le voy a sumar x y esto todo esto lo voy a hacer igual a cero y veamos qué puedo hacer aquí puede restar x de ambos lados y me quedaría que 2x por el logaritmo natural de x esto sería igual a am - x y ahora bueno ahora se me ocurre que pueda dividir todo entre dos equis y podemos hacer eso porque sabemos que x es más grande que 0 entonces no puede ser cero si dividimos todo entre dos equis me quedan que el logaritmo natural de x es igual a es igual a menos un medio porque ese individuo - x entre dos equis la sec y se cancelan y me queda simplemente menos un medio ahora tengo el lugar es natural de x es igual a menos un médium o dicho de otra manera de quique despejar la x x va a ser igual ha elevado a la potencia menos un medio es decir x es igual a la función exponencial elevada a la potencia menos un medio recuerden que el logaritmo natural es simplemente logaritmo en base y entonces esto es exactamente lo mismo que esto lo podemos escribir como un homme entre la raíz cuadrada de elevado la menos un medio es lo mismo que uno entre la raíz cuadrada de entonces este es un punto en el cual nuestra derivada es igual a cero es un valor crítico para nuestra función g original y de hecho éste es el único lugar donde la derivada es igual a cero ahora también te tienes que preguntar habrá otros puntos donde ge prima esté indefinida tendrán que ser puntos dentro de nuestro dominio veamos qué haría esto indefinido si observas 2x y x se pueden evaluar para cualquier x mientras que el lugar es natural de xc se puede evaluar en su argumento para valores mayores o iguales a cero justo lo que teníamos en el dominio x tiene que ser mayor que 0 pero es justo nuestra restricción original así que cualquier punto dentro de este dominio va a estar definido muy bien una vez que ya sabemos eso podemos decir que solamente este va a ser mi único valor crítico así que qué te parece si dibujamos una recta numérica y vemos qué es lo que está pasando a los lados de este punto criticó así que voy a dibujar por aquí una recta numérica am voy a dibujar esta recta en américa y este es mi eje x ok supongamos que por aquí propongo al 0 y bueno por acá tengo al menos uno por acá voy a tener al 1 por acá voy a tener al 2 y veamos este valor donde es tan bueno uno entre raíz de esto es a cercano a 1 pero menor que él esto va a tomar un valor como por aqim éste toma el valor de 1 en tremp raíz de muy bien y bueno nos vamos a aplicar solamente las x mayores que cero así que qué te parece si primero pensamos en este intervalo primero vamos a pensar en este intervalo si te das cuenta es el intervalo que va de cero hasta 1 entre la raíz de ok y bueno vamos a pensar dónde mi primera derivada es positiva o negativa y después tenemos este otro intervalo las x que son mayores que este valor es decir mi segundo intervalo va a ser todo esto que tengo aquí todo esto que tengo aquí que se observa es de una entre la raíz de hasta infinita deja notar lo este intervalo es de uno entre la raíz de hasta infinita muy bien ahora vamos a probar con un valor en este intervalo para ver cuánto vale su derivada y se me ocurre tomarme no sea un valor entre este intervalo qué te parece si vemos cuánto vale g prima de 0.1 y bueno esto sí lo sustituimos aquí me va a quedar dos por 0.1 eso es 0.2 0.2 que multiplica a logaritmo natural de 0.1 ya esto le tenemos que sumar 0.1 a eso le sumamos 0.1 ahora este valor de aquí me va a dar algo negativo esto de aquí me va a dar algo negativo y de hecho algo más negativo que menos uno ya que piensan esto ha elevado a la menos uno esto es lo mismo que uno entre que esto es aproximadamente 1 entre 2.7 es aproximadamente 0.3 o 0.4 a un número entre esto así que para llegar a 0.1 tiene que ser aún más negativo esto tiene que ser menos porque menos uno esto tiene que ser menor que menos uno y si multiplicamos 0.2 por algo menor que menos uno me dan algo menor que menos 0.2 y si a esto le sumamos 0.1 bueno en definitiva estoy aquí me va a dar algo negativo es decir que en esta parte mi primera derivada y eso es lo importante va a ser menor que cero en este intervalo que tenemos aquí y bueno también pudimos traer la calculadora por aquí pero evaluarlo me parece más sencillo ahora veamos qué pasa en el otro intervalo en el intervalo que va desde 1 entre la raíz de hasta infinito vamos a tomarnos un valor aquí para probar el signo de la primera derivada y bueno el valor más sencillo que se me ocurre es tomarme uno así que cuando vale g prima de uno bueno pues esto va a ser igual a 2 x 1 32 por el logaritmo natural de uno ya esto le sumamos 1 ahora esto es muy fácil porque el lugar es natural de 100 x 2 todo esto 0 entonces simplemente me queda uno lo cual tiene signo positivo eso quiere decir que a kim la primera derivada de x es mayor que cero así que parece que nuestra función está decreciendo del intervalo cero hasta 1 entre la raíz de y después de esto en el intervalo 13 la raíz de hasta el infinito esta función está creciendo eso quiere decir que estamos pasando de decrecer tocamos este punto y después empezamos a crecer lo que quiere decir que nuestra función está tocando un punto global mínimo o un punto mínimo absoluto en este valor de aquí así que déjame escribir lo vamos a tener un mínimo absoluto en x igual a 1 entre la raíz de de lujo y no sólo eso además no hay un máximo absoluto a medida que vamos después de uno entre la raíz de sabemos que nuestra función sigue creciendo y creciendo y creciendo para siempre inclusive lo pueden ver a kim x cuadrada es una función que cree se de manera indefinida hasta el infinito y el lugar es natural de x es la función que también crece pero más lento que x cuadrada pero todavía irá sin límites hacia el infinito así que no hay un punto máximo absoluto déjame agotarlo también sabemos que no hay un máximo absoluto qué te parece si ahora vemos la gráfica de esta función para sentirnos bien de lo que acabamos de hacer de esta manera analítica vamos a verlo por la cam déjeme bajar un poco la pantalla y déjame traer por aquí en la gráfica de esta función así que voy a copiar y pegar y ya están ahora puedes ver que este valor de aquí es igual a 1 entre la raíz cuadrada de además puedes ver que en efecto tenemos un mínimo dio no era tan obvio verlo así pero ahora podemos apreciar que este es un mínimo absoluto y además que no tenemos un punto máximo absoluto solamente hay valores que crecen y crecen y crecer indefinidamente
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