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Transcripción del video

digamos que tengo la función f x igual a 8 veces el logaritmo natural de x menos equis cuadrada y por supuesto esta función la vamos a definir en un dominio y el dominio va a ser el intervalo cerrado 1,4 y cuando hablamos del intervalo cerrado estamos pensando por supuesto en que tanto el punto 1 como el punto 4 están incluidos en el dominio de la función muy bien entonces la pregunta que te hago y que espero puedas hacer una pausa y tratar de resolverlo por tu cuenta es encontrar cuál es el valor máximo absoluto el valor máximo absoluto de nuestra función f muy bien esta es la pregunta te invito a que hagas una pausa y trates de resolverlo ok entonces espero ya hayas hecho una pausa y al menos intentado dar una respuesta del problema vamos a ver qué pasa vamos a utilizar el teorema del valor extremo que es lo que nos dice el teorema del valor extremo digamos que tengo yo un intervalo cerrado muy bien tenemos aquí un intervalo cerrado y el teorema del valor extremo nos dice que siempre que tengamos una función continua en un intervalo cerrado entonces podremos encontrar tanto el máximo absoluto de efe como el valor mínimo absoluto de f por ejemplo y de hecho tenemos varias varios escenarios o varias varias posibilidades en que esto puede ocurrir por ejemplo si aquí estamos definiendo nuestra función podríamos tener algo así que el valor extremo o el valor máximo de la función se encuentra en alguno de los extremos del intervalo que por ejemplo puede que ocurra algo así verdad y entonces el máximo se encuentra en uno de los extremos puede ocurrir otra situación que el valor máximo se encuentre al inicio del intervalo como más o menos de esta forma puede ocurrir o bien también puede ocurrir que no esté bien más bien en los extremos del intervalo sino que ande por en medio en cuyo caso sí es bastante bien comportará la función aquí tendremos que la pendiente de 0 en donde está el máximo o bien podríamos tener una cuarta situación en donde tengamos el máximo de esta forma muy bien en cuyo caso la derivada no está definida entonces en este tipo de situaciones por ejemplo en este a este valor layout le llamamos el punto crítico verdad el punto crítico es aquel en donde la derivada hacia nula este es el punto crítico muy bien entonces vamos a ver dónde están los extremos vamos a evaluar más bien la función en los extremos del del intervalo y luego calcularemos la derivada para encontrar valores críticos o bien donde no está definida la función ok y luego vamos a comparar cuánto vale la función en cada uno de ellos entonces quien es la derivada de nuestra función f entonces tendremos que derivar 8 por el logaritmo natural de x la derivada es 8 entre x menos la derivada de x cuadrada que es 2x y si yo quiero hallar puntos críticos tengo que ver cuando esto es igual a 0 entonces podemos sumar 2x de ambos lados y tenemos 8 / x es igual a 2x si ahora multiplicamos de ambos lados por x tendremos que 8 es 2x cuadrada si dividimos de ambos lados entre 2 tendremos que 4 es x cuadrada y si ahora sacamos una raíz cuadrada tendremos que x es más o menos 2 muy bien entonces tenemos estos dos puntos críticos sin embargo hay que recordar lo siguiente la función está definida en el intervalo 1,4 así que menos 2 no tiene sentido porque no está en este en este intervalo así que el único punto crítico que tenemos es es igual a 2 muy bien ahora también podríamos preguntarnos donde no está definida la derivada y vemos que sólo hay un punto en donde no está definida verdad aquí tenemos 8 / x así que no estaría de perdón definida cuando x es igual a 0 sin embargo en x igual a 0 o más bien el punto igual a 0 no está en nuestro dominio así que también la derivada está definida en todos lados así que nuestros candidatos para valores máximos absolutos son efe de 1 que es evaluar en un extremo y esto sería ocho veces logaritmo natural de uno menos uno al cuadrado también podríamos tener efe de cuatro que es evaluar en el otro extremo y tendríamos ocho veces logaritmo natural de 4 menos 4 al cuadrado o bien efe de 2 que es nuestro punto crítico y esto sería ocho veces logaritmo natural de dos menos dos al cuadrado podríamos utilizar una calculadora y ver cuál de éstos es más grande pero vamos a tratar de hacerlo intuitiva o al menos con un buen análisis notemos que el logaritmo natural de 1 vale 0 así que esto de aquí vale 0 y sólo nos queda menos 1 al cuadrado que es menos 1 ahora bien efe de 4 cuánto es tenemos ocho veces el logaritmo natural de 4 menos 4 al cuadrado ok entonces no sé podríamos tratar de ver por ejemplo el 4 es mayor que el número e y menor que al cuadrado verdad recordemos que es como 2.71 me parece algo así ok sí sí sí ya recordé bien y él es 2.718 más o menos entonces 4 está por abajo de cuadrada quiere decir que el logaritmo natural de 4 está entre el logaritmo natural de e y el logaritmo natural de cuadrada que es decir el logaritmo natural de 4 está entre 1 y 2 muy bien y esto nos dice que ocho veces el logaritmo natural de 4 está entre 8 y 16 pero si después restamos 16 eso quiere decir que estamos entre menos 8 y 0 y bueno no tenemos forma de saber bien cómo es con respecto a efe de uno pero lo que sí sabemos es que éste es negativo y éste es negativo ahora bien efe de dos cuánto es veamos que 2 es más grande que la raíz cuadrada de quiere decir que el logaritmo natural de 2 es más grande que un medio y 8 por un medio es más o bueno más bien 8 por el logaritmo natural de 2 es mayor que 8 por un medio que es 4 y si le restamos 4 quiere decir que esto es más grande que 0 quiere decir que esto de aquí es positivo y por lo cual yo le voy a elegir este como mi valor máximo de la función muy bien entonces este es el valor máximo de la función y se alcanza en el punto crítico en que es que es 2 ahora nada más vamos a comprobarlo con la calculadora por ejemplo si calculamos el logaritmo natural de 4 es y luego lo multiplicamos por 8 y luego le restamos 16 tenemos que esto es menos menos 5 más o menos es como menos 5 y esto era positivo verdad porque tenemos él ritmo natural de dos que si lo multiplicamos por ocho nos da 5.55 más o menos y si le restamos cuatro obtenemos 1.55 más o menos que en efecto es positivo y este es nuestro valor máximo lo lo más interesante es que antes lo pudimos resolver sin utilizar la calculadora
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