Repaso sobre puntos de inflexión

Los puntos de inflexión son aquellos puntos donde la gráfica de una función cambia de concavidad (de $\cup$\cup a $\cap$\cap, o viceversa).

Los puntos de inflexión se encuentran de forma similar que los puntos extremos. Sin embargo, en vez de buscar puntos donde la derivada cambia de signo, buscamos puntos donde la segunda derivada cambia de signo.

Encontremos, por ejemplo, los puntos de inflexión de $f(x)=\dfrac{1}{2}x^4+x^3-6x^2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript, plus, x, cubed, minus, 6, x, squared.

La segunda derivada de $f$f es $f''(x)=6(x-1)(x+2)$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis.

$f''(x)=0$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 para $x=-2,1$x, equals, minus, 2, comma, 1, y está definida para todos los números reales. $x=-2$x, equals, minus, 2 y $x=1$x, equals, 1 dividen la recta numérica en tres intervalos:

Evaluemos $f''$f, start superscript, prime, prime, end superscript en cada intervalo para ver si es positiva o negativa en ellos.

Podemos ver que la gráfica de $f$f cambia de concavidad en $x=-2$x, equals, minus, 2 y $x=1$x, equals, 1, por lo que $f$f tiene puntos de inflexión en ambos valores de $x$x.