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Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB)
Curso: Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB) > Unidad 5
Lección 7: Determinar la concavidad de intervalos y encontrar puntos de inflexión algebraicamente- Analizar la concavidad (algebraicamente)
- Puntos de inflexión (algebraico)
- Errores al encontrar puntos de inflexión: segunda derivada indefinida
- Errores al encontrar puntos de inflexión: no verificar los candidatos
- Analizar la segunda derivada para encontrar puntos de inflexión
- Analizar concavidad
- Encuentra puntos de inflexión
- Repaso sobre concavidad
- Repaso sobre puntos de inflexión
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Analizar la segunda derivada para encontrar puntos de inflexión
Aprende cómo la segunda derivada de una función se utiliza para encontrar sus puntos de inflexión. Aprende cuáles son los errores comunes a evitar en el proceso.
Podemos encontrar los puntos de inflexión de una función al estudiar su segunda derivada.
Ejemplo: encontrar los puntos de inflexión de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 5, end superscript, plus, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript
Paso 1: encontrar la segunda derivada
Para encontrar los puntos de inflexión de f, tenemos que utilizar f, start superscript, prime, prime, end superscript:
Paso 2: encontrar todos los candidatos
Como con los puntos críticos, estos son puntos donde f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 o f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis está indefinida.
f, start superscript, prime, prime, end superscript es cero en x, equals, 0 y x, equals, minus, 1, y está definida para todos los números reales. Así que x, equals, 0 y x, equals, minus, 1 son nuestros candidatos.
Paso 3: analizar la concavidad
Intervalo | Valor x de prueba | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis | Conclusión |
---|---|---|---|
x, is less than, minus, 1 | x, equals, minus, 2 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 80, is less than, 0 | f es cóncava hacia abajo \cap |
minus, 1, is less than, x, is less than, 0 | x, equals, minus, 0, point, 5 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 0, point, 5, right parenthesis, equals, 2, point, 5, is greater than, 0 | f es cóncava hacia arriba \cup |
x, is greater than, 0 | x, equals, 1 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 40, is greater than, 0 | f es cóncava hacia arriba \cup |
Paso 4: encontrar puntos de inflexión
Ahora que conocemos los intervalos donde f es cóncava hacia arriba o hacia abajo, podemos encontrar sus puntos de inflexión (es decir, donde la concavidad cambia de dirección).
- f es cóncava hacia abajo antes de x, equals, minus, 1, cóncava hacia arriba después de ese punto y está definida en x, equals, minus, 1. Así que f tiene un punto de inflexión en x, equals, minus, 1.
- f es cóncava hacia arriba antes y después de x, equals, 0, así que no hay un punto de inflexión.
Podemos comprobar nuestro resultado al observar la gráfica de f.
Error común: no revisar los candidatos
Recuerda: no debemos suponer que cualquier punto donde f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 (o donde f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis está indefinida) es un punto de inflexión. Más bien, debemos revisar nuestros candidatos para ver si la segunda derivada cambia de signo en esos puntos y si la función está definida ahí.
Error común: no incluir los puntos donde la derivada está indefinida
Recuerda: nuestros candidatos a puntos de inflexión son puntos donde la segunda derivada es igual a cero y los puntos donde la segunda derivada está indefinida. Ignorar los puntos donde la segunda derivada está indefinida a menudo resultará en una respuesta incorrecta.
Error común: fijarse en la primera derivada en lugar de en la segunda
Recuerda: en la búsqueda de puntos de inflexión, siempre debemos analizar dónde es que la segunda derivada cambia de signo. Hacer esto para la primera derivada nos dará puntos de extremos relativos, no puntos de inflexión.
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- F(x)=x⁴-5x²+6x²+5 puntos de inflexión(0 votos)