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Transcripción del video

sea gdx igual a esta función que tenemos aquí y nos preguntan para qué valores de x la gráfica deje de esta función que tengo aquí tienen un punto de inflexión así que primero vamos a recordar que es un punto de inflexión un punto de inflexión es donde cambiamos la concavidad o podemos decir dónde la segunda derivada con respecto a x de la función original cambia de signo así que lo voy a poner así cambia de signo entonces qué te parece si nos fijamos en nuestra segunda derivada y para trabajar con la segunda derivada bueno primero vamos a encontrar quien la segunda derivada así que para eso voy a escribir la función original la ue es vivir aquí tengo gtx igual a un cuarto a un cuarto de x elevada a la cuarta potencia am - 4x elevado al cubo más 24x cuadrada más 24x cuadrada muy bien y ahora vamos a calcular la primera derivada la primera derivada de esta función requiere aplicar la regla de la potencia es decir voy a multiplicar 4 por un cuarto 4 por un cuarto es uno así que no lo voy a escribir y después me va a quedar x elevado a la 4 - 1 lo cual estrés muy bien a esto le voy a quitar y ahora voy a multiplicar esta potencia por 4 para quedar 3 x 4 12 x a la potencia 3 - 1 es decir x cuadrada y por último voy a agarrar este 2 lo voy a multiplicar por este 24 y no le va a quedar más 48 y 8 x muy bien y ahora vamos a calcular la segunda deriva que mi prima de x va a ser igual y otra vez vamos a aplicar la regla de la potencia va a quedar éste lo voy a multiplicar por éste quedaría 3x cuadrada y después a éste lo voy a multiplicar por doce me va a quedar menos 24 x + 40 y bortxa +48 muy bien así que podemos pensar en donde esta función de quién cambia de signo y bueno si observas ésta es una función continúa aunque está definida para todas x así que los únicos candidatos potenciales en donde la segunda derivada cambia de signo es cuando esta expresión aquí es igual a cero entonces vamos a buscar 3x cuadrada menos 24 x +48 es igual a cero así que voy a agarrar este color y voy a buscar dónde 3x cuadrada menos 24 x +48 esto de kim es igual a cero y ahora observa que todos y y chile entre tres entonces si dividimos todo entre tres me quedaría x cuadrada - 8 x + 16 +16 esto igual a cero y estos factores hable sin ser autorizable es lo mismo que x menos cuatro por lo menos 4 x menos cuatro esto elevado al cuadrado y bueno esto va a ser igual a cero y de aquí voy a tener que x igual a 4 hacen que esta expresión se cumpla es decir que algo interesante pasa en que es igual a 4 esté aquí es nuestro candidato vamos a ver si en efecto la segunda derivada cambia de signo en este punto o no así que para eso dejan hacer por aquí una meta numérica se me ocurre hacerlo como por aquí y vamos a ver qué pasa con valores antes y después de x igual a 4 así que supongamos que aquí tengo al 2 al 3 por aquí tengo a 456 muy bien deja de poner con este color que aquí tengo este valor de x igual a 4 y bueno nosotros ya sabemos que la segunda derivada de x cuando equivale a 4 esto es igual a cero ahora qué te parece si nos tomamos un valor de x menor que cuatro se me ocurre no sea trabajar con x igualados nada mejor con x igual a hacer entonces cuánto valen la segunda derivada evaluada en cero bueno pues esto me quedaría esto se va esto se va en que das simple y sencillamente 48 entonces esto sería igual a 48 lo cual es positivo eso quiere decir que en todo este intervalo de aquí y en todo ese intervalo aquí la segunda derivada de x es mayor que cero o dicho de otra manera en este intervalo aquí vamos a tener una concavidad hacia arriba pero ahora pensemos qué es lo que pasa a la derecha de eeuu es igual a 4 y para eso qué te parece si me tomo no sea se me ocurrió tomarme un valor para evaluar mi segunda derivada pero valor fácil así que me voy a explicar en qué es lo que pasa con la segunda derivada cuando equivale a 10 bueno cuando equivale a 10 no va a quedar 10a cuadrados 100 x 3 me queda trescientos 300 menos 24 x 10 x 240 ok +48 bueno pues observa que esto es lo mismo aquí en 300 menos 240 eso es 60 +48 me va a quedar 108 estos 108 lo cual también es positivo eso quiere decir que en este intervalo de aquí en ese intervalo de aqim la segunda derivada de x también va a ser positiva en ambos lados tenemos una concavidad hacia arriba en ambos lados la segunda derivada es positiva y como x igual a 4 era nuestro único candidato posible ya que la segunda derivada valuada en 4 es igual a cero entonces no hay valores para x en donde ge tenga el punto de inflexión si la segunda derivada cambia de signo al tomarlos un valor anterior al 4 y uno posterior ya sea de positiva negativa o de negativa a positiva entonces éste sí sería un punto de inflexión pero en este ejercicio en particular se mantiene positiva vamos de positiva a positiva entonces se vería más o menos así idea por aquí aquí tomar el valor de cero y el lugar de cruzar este eje va a volver a crecer se va a mantener siendo positiva y bueno si regresamos la pregunta para qué valores de x la gráfica gtx tiene un punto de inflexión ahora sí podemos contestar y la respuesta va a ser para ningún ningún valor de x valor de x y voy a poner signos de admiración para aumentar el dramatismo
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