Dibujo de curvas con el uso del cálculo: polinomios

elmo's y podemos usar todo lo que hemos aprendido acerca de diferenciación con creatividad los puntos mínimos y máximos y los puntos de infracción para poder graficar una función sin tener que usar una calculadora gráfica digamos que nuestra función f x es igual a 3x a la cuarta potencia menos 4 por x al cubo más 2 y por supuesto ustedes siempre pueden graficar una función enfocándose en los puntos que no son de interés para poder tener una forma general de la función sobre todo si nos enfocamos en las partes que podemos inferir de esta función usando nuestra caja de herramientas de derivadas lo primero que queremos hacer es encontrar los puntos críticos aquí le escribiré nuestros puntos críticos y para que recordemos a qué se refiere esto de puntos críticos se refiere a aquellos puntos en los que la derivada de fx 0 efe prima de x igual a 0 o no está definida o esté indefinida esta función luce bastante diferenciable en todos sus términos así que los puntos críticos que nos interesan bueno les puedo decir que definitivamente serán aquellos puntos en los que esta f prima de x sea 0 este derivada f prima de x estará definida durante todo el dominio así que vamos a comenzar a escribir la derivada de esta función la derivada de esto efe prima x es algo bastante directo la derivada de 3 por equis a la cuarta va a ser 3 por 4 12 por x al cubo recordamos que decrementar nos la potencia en 1 multiplicamos la constante por el exponente y elevamos la variable al exponente menos una unidad menos 3 x 4 vuelve a ser 12 por equis pero ahora es 3 menos 12 y la derivada de una constante es ser recordemos que aquí no hay ningún cambio es una constante entonces por eso su derivada o su pendiente va a ser cero y ahora vamos a concentrarnos en los puntos críticos recordemos que los puntos críticos es cuando todo esto es igual a cero o está indefinido ahora puedo ver el dominio completo de los números enteros y me doy cuenta de que esto está definido en todas partes podemos poner cualquier número y nunca nos va a dar una indefinición siempre me va a dar un resultado por lo que vamos a tener que encontrar en qué puntos esto es igual a cero así pues tenemos que encontrar para cuáles valores de x está f prima de x va a ser igual a 0 ok bueno esto lo escribiré extra no es necesario que se escriba esto lo voy a escribir en diferente color 12 x al cubo menos 12 x x al cuadrado es igual a 0 qué valores de x me dan esta igualdad bueno qué podemos hacer para resolver esto pues podemos factorizar el 12 x factor' izamos 12 x esto lo sacamos este término se vuelve x perdón tendríamos que quitar el 12 x cuadrada de factor izamos 12 x cuadrada y este término se convierte en x y éste es menos 1 y todo esto es igual hacer simplemente lo que hicimos fue factorizar sacar este término y si ustedes hacen la operación de multiplicar 12 x cuadrada por x menos uno les va a dar esta función y esto lo hice para facilitar poder encontrar el punto o el valor o valores de x para los cuales todo esto es igual a cero pues así encontramos todas las x que pueden hacer que este valor de toda esta ecuación sea igual a cero y para esto uno o ambos de estos términos tienen que ser igual a cero así que tenemos 12 x cuadrada igual a 0 por lo que la x por fuerza tendría que ser igual a 0 lo que haría que todo este término fuera igual a 0 y el otro valor que puede darnos esta ecuación igual a 0 es con x menos 1 igual a cero cuando x es igual a 1 y estos son nuestros dos puntos críticos cuando x es igual a 0 y cuando x es igual a 1 y recuerden que esos son los puntos en donde nuestra primera derivada es igual a 0 donde la pendiente es 0 podrían ser puntos máximos o puntos mínimos podrían ser puntos de inflexión podrían ser cualquier cosa no podemos saber mucho de ellos en este momento pero sí sabemos que son puntos de interés eso es lo único que podemos decir con certeza de esto es que son puntos de interés pero vamos a continuar para tratar de comprender la competividad y así poder tener un sentido de esta gráfica así que vamos a calcular la segunda derivada la segunda derivada la voy a hacer en otro colorcito la segunda derivada de fx bueno es 12 por 3 36 por x al cuadrado - 12 por 2 24 por equis ahora aquí hay un par de cosas que podemos hacer ya que tenemos esta segunda derivada podemos responder la pregunta de si mi gráfica es cóncava hacia arriba o hacia abajo en cualquiera de esos puntos críticos recuerden que si es cóncava hacia arriba o sea tendrá una forma de un si es cóncava hacia abajo tendrá forma de una invertida bueno ahora vamos a evaluar estos puntos críticos en la función de nuestra segunda derivada así que la segunda derivada de f en cero va a ser igual a qué bueno 36 x 0 al cuadrado va a ser cero menos 24 por 0 también va a ser cero así que esto va a ser cero así que no es ningún cabo hacia arriba ni hacia abajo la función en este punto podría ser un punto de transición igual podría no serlo pero bueno no estamos seguros todavía de qué se trata ahora vamos a evaluar la segunda derivada de f cuando x es igual a 1 estos 36 por 1 al cuadrado 36 por 1 queda como 36 menos 24 por 1 que de 24 36 - 24 así que 36 menos 24 va a ser igual a 12 y este es un valor positivo nuestra segunda derivada evaluada en 1 es positiva por lo que significa que nuestra primera derivada la pendiente se incrementa el cambio es positivo así que en este punto tenemos una pendiente cóncava hacia arriba lo que me dice que esto probablemente sea un punto mínimo si la pendiente que es 0 y tenemos algo cóncavo en ese punto lo que es bastante interesante y ahora vamos a buscar si tenemos algún otro punto potencial de inflexión ya sabemos que esto es un punto potencial de inflexión vamos a resaltarlo en rojo este es un punto potencial pero no sabemos si realmente hay una transición en la función en ese punto tendremos que experimentar un poquito más pero veamos si hay algún otro punto de inflexión y para esto vamos a ver si esta segunda derivada se vuelve cero en algún otro punto 36 x cuadrada menos 24 igual a 0 ahora vamos a factorizar el 12 x 12 x x 3 x 3 x 12 es 36 y x x x x cuadrado menos 2 y todo eso es igual a 0 y vemos que estas dos expresiones son equivalentes y hacemos las multiplicaciones aquí en la segunda expresión veremos que es igual a la de arriba y para que esta expresión se cumpla esta parte de 12 x tiene que ser igual a 0 en el punto en el que obviamente x tiene que ser igual a 0 o sea en este punto cuando x es igual a 0 todo esto vale 0 y bueno eso ya lo sabíamos desde antes y esa otra parte también si esto es igual a 0 se cumpliría esta expresión vamos a resolver la 3x - 2 igual a cero 3x es igual a 2 y x es igual a dos tercios este es otro punto de interés uno que no habíamos encontrado antes y este podría ser un punto de inflexión y digo que podría hacerlo porque en la segunda derivada es definitivamente cero en este punto y ahora lo que tengamos que hacer es ver si esta segunda derivada es positiva o negativa en ambos lados de este punto y ya tenemos más o menos una idea de esto podemos hacer pruebas con un par de números ya sabemos que si tomamos un valor de x que es más grande que dos tercios vamos a hacer un poquito de espacio aquí vamos a ver qué pasa cuando x es mayor que dos tercios mayor que dos tercios cuál va a ser el valor de f prima de x perdón la segunda derivada de fx vamos a elegir un valor que esté bastante cercano pues para darnos una idea así que permítanme reescribir la segunda derivada de fx igual y permíteme escribirla de esta otra manera quizás un poquito más fácil de trabajar con ella que es igual a 12 x x 3x menos dos cuando x es mayor que dos tercios este término de aquí va a ser positivo eso es algo definitivo cualquier número positivo multiplicado por 12 va a dar otro número positivo pero qué pasa con este otro término de aquí tres por dos tercios menos dos va a ser exactamente ser pero cualquier cosa ligeramente mayor que esa si yo tuviera 2.1 entre 3 esto va a ser una cantidad positiva cualquier valor de x mayor a dos tercios aquí me va a dar otro número positivo y esto significa que cuando x es mayor que dos tercios la segunda derivada en ese valor va a ser positiva la segunda derivada de x es mayor que 0 y en nuestro dominio siempre y cuando x sea mayor que dos tercios va a ser cóncavo hacia arriba y aquí lo vemos que cuando x es igual a 1 con calidad va a ser hacia arriba pero qué pasa cuando x es menor a dos tercios bueno ahora cuando x es menor vamos a escribirlo más abajo cuando x es menor que dos tercios vamos a reescribir la expresión la segunda derivada de fx que es igual a 12 x x 3x menos 2 bueno vemos que si tomamos un valor muy lejano esto vamos a tener un número negativo así que vamos a elegir un valor que esté muy pero muy cerca de este 2 entre 3 que sea menor pero que aún estemos en el dominio positivo si esto fuera por ejemplo no se 1.9 entre 3 esto de aquí va a ser positivo justo por debajo de los dos tercios esta parte de aquí va a ser positiva pero qué pasa en esta otra parte en esta parte de acá bueno si esto es igual a dos tercios va a ser esta parte exactamente igual a cero pero cualquier cosa que sea menor a dos tercios por ejemplo tres por un tercio va a ser igual a uno uno menos dos va a ser igual a menos uno se van a tener números por lo que la segunda derivada cuando x es menor a dos tercios justo digamos que a la izquierda de estos dos tercios esto va a ser menor que cero ahora el hecho de que tengamos esa transición de algo menor a dos tercios que tiene una segunda derivada negativa y que cuando tenemos algo mayor a dos tercios tenemos una segunda derivada positiva esto nos dice que justamente aquí tenemos un punto de inflexión punto de inflexión cuando x es igual a dos tercios para nuestra función original esta de aquí arriba y ahora tenemos otro punto candidato a punto de inflexión y después ya estaremos listos para graficar quiero tener todos los puntos de infección el máximo y el mínimo y ya tendremos todos los elementos para graficar así que ahora vamos a ver si x igual a 0 es un punto de inflexión sabemos que la segunda derivada valorada en 0 va a ser igual a 0 pero qué pasa antes y después de ese 0 y para que no haya confusiones vamos a dibujar una línea separando estas ecuaciones cuando x es mayor que 0 que le va a pasar a la segunda derivada recordamos que esta segunda derivada es igual a 12 por x por 3x menos 2 me gusta escribirlo de esta manera porque podemos descomponerlo en dos expresiones lineales las cuales podemos ver de manera independiente si son positivas o negativas cuando x es mayor que 0 esto de aquí va a ser algo positivo definitivamente y esto de aquí justo cuando estamos por encima del x mayor a 0 tenemos que asegurarnos de estar bastante cerca de este valor digamos que este valor va a ser en punto 1 que estamos muy muy cerca de cero así que si esto es punto 1 al multiplicarlo vamos a tener punto 3 - 2 este va a ser un valor negativo así que cuando x es está un poquito por encima de 0 la segunda derivada va a ser negativa lo escribimos por acá la segunda derivada de x va a ser menor que cero la concavidad va a ir hacia abajo lo que tiene sentido porque en un punto vamos a llegar a una transición así que esto es consistente desde cero hasta los dos tercios vamos a tener una concavidad hacia abajo y en dos tercios comenzaremos a tener una concavidad positiva y ahora vamos a ver qué pasa cuando x está justo por debajo de cero cuando x está apenas apenas por debajo de cero escribimos nuevamente nuestra segunda derivada de fx que es igual a 12 x x 3 x menos dos si x fuera igual a menos punto 0 1 o menos punto 0 0 1 todo esto va a ser negativo esta parte de aquí va a ser negativa ya que es un valor negativo por pequeño que sea que se multiplica por un 12 va a dar un valor negativo y esta otra parte que va a ser bueno 3 por menos punto cero uno va a ser menos punto cero 3 - 2 - 2 puntos 0 3 definitivamente vamos a tener un número negativo acá y si se resta de otro número se va a tener un número negativo pero qué pasa si multiplico negativo con negativo pues va a dar un número positivo por lo tanto cuando x es ligeramente menor que 0 la segunda derivada va a ser positiva quizás esto pueda ser un poco confuso pero ahora ya tenemos todo lo necesario para hacer nuestra gráfica hacemos más espacio aquí abajo y sabemos que cuando x es igual a 1 cuando x es igual a 1 vamos a escribirlo aquí arriba nosotros encontramos que cuando x es igual a 1 la pendiente es 0 segunda derivada de f en 0 es igual a 0 y una disculpa debí haber escrito esto como la pendiente es igual a 0 y encontramos esto porque nuestra primera derivada era 0 ahí encontramos nuestro punto crítico y sabemos que estamos trabajando con una función cóncava hacia arriba en este punto cóncava hacia arriba y esto nos dice que es un punto mínimo cóncavo hacia arriba y de hecho podemos tener las coordenadas y hacer la gráfica real que es el punto de este vídeo efe de 1 a que es igual bueno vamos a ver nuestra función original tres por uno menos cuatro más dos tres por uno a la cuarta menos cuatro por uno al cubo más 23 menos cuatro más dos que es un número positivo nos queda un 1 si ustedes hacen la operación verán que el resultado es 1 así que f 1 es igual a 1 ahora también sabemos que cuando x es igual a cero encontramos que la pendiente va a ser igual a cero pero también encontramos que este es un punto de inflexión la competividad cambia antes y después de este punto así que este es un punto de inflexión punto de inflexión donde es cóncavo abajo de cero cuando x es menor que cero tenemos la concavidad hacia arriba nuestra segunda derivada es positiva y cuando x es mayor que 0 nuestra concavidad va hacia abajo y no en toda la extensión de x mayor a 0 apenas arriba de 0 para seguir encontrando las coordenadas tenemos que encontrar cuál es el valor de f en 0 efe en 0 es igual vemos nuestra ecuación tres por cero menos 40 más 2 entonces nuestra efe de cero va a ser igual a 2 y finalmente tenemos el valor cuando x es igual a dos tercios x es igual a dos tercios vamos a poner el otro color el punto cuando x es igual a dos tercios y encontramos que este es un punto de inflexión este fue un punto de inflexión la pendiente definitivamente no es cero acá porque es un punto de inflexión y es uno de los puntos críticos y sabemos que vamos hacia abajo cuando x es menor a dos tercios nuestra concavidad va hacia abajo más menor que dos tercios y cuando x es apenas mayor que dos tercios nuestra concavidad vivimos aquí arriba cuando es un poquito mayor que dos tercios encontramos que la segunda derivada es positiva así que va hacia arriba y una vez más vamos a encontrar cuál es el valor de f cuando x es igual a dos tercios y de hecho ni siquiera tenemos que hacer un cálculo complicado podemos hacer una gráfica muy buena con los puntos que ya tenemos ahora vamos a hacer una gráfica en general tenemos que dibujar nuestros ejes aquí voy a dibujar mi punto cero 12.02 vamos a hacerlo en este color hacer un color diferente un azul ahora voy a graficar mi punto 1 1 este punto de aquí va a ser 1,1 ahí está la coordenada 11 y esta es la coordenada 0.2 y ahora tenemos cuando x es igual a dos tercios nuestro punto de inflexión que va más o menos por acá dos tercios aunque no sabemos exactamente cuál es el valor de f de dos tercios en este punto verde coordenada dos tercios coma efe de dos tercios efe de dos tercios y ya que tenemos estos puntos especificados podemos proceder a hacer la gráfica sabemos que cuando x es igual a 1 la pendiente es cero así que está plano aquí y después se viene una parte cóncava hacia abajo que luce más o menos así en ese intervalo donde se va elevando y sabemos que esto se eleva a partir de que x es mayor a dos tercios vamos a ponerlo en otro color y sabemos que en el punto cuando x es igual a dos tercios tenemos una concavidad hacia arriba por eso dibuje esta forma de 1 cuando x es menor a 2 tercios pero mayor a 0 la concavidad va hacia abajo déjenme dibujarlo mejor en este intervalo la pendiente va decrementar como pueden ver aquí vamos comenzando con un punto de pendiente plana y va bajando va bajando bajando hasta que llegue al punto de inflexión donde va cambiando la pendiente y comienza a incrementarse de nuevo hasta que al punto en el que se hace la concavidad hacia arriba y cuando x es menor que cero la concavidad va hacia arriba así que la gráfica luce más o menos así y también encontramos que cuando x es igual a cero tenemos un punto crítico aquí la gráfica la pendiente es plana ese es un punto de inflexión cuya pendiente también es ser y esta industria gráfica final después de todo ese trabajo pudimos usar nuestras habilidades en cálculo para encontrar todos estos puntos críticos estos puntos de interés puntos de inflexión para finalmente poder graficar esta función que pues está bastante densa y más o menos se vas a ver así si usted es la gráfica en con su calculadora