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Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB)
Curso: Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB) > Unidad 5
Lección 10: Conectar una función, su primera derivada y su segunda derivada- Justificación con base en cálculo para mostrar que una función es creciente
- Justificación mediante la primera derivada
- Justificación mediante la primera derivada
- Justificación mediante la primera derivada
- Puntos de inflexión a partir de gráficas de funciones y derivadas
- Justificación mediante la segunda derivada: punto de inflexión
- Justificación mediante la segunda derivada: punto de un máximo
- Justificación mediante la segunda derivada
- Justificación mediante la segunda derivada
- Conectar f, f' y f'' gráficamente
- Ejemplo. Conectar f, f' y f'' gráficamente
- Conectar f, f' y f'' gráficamente
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Justificación mediante la segunda derivada
"El razonamiento con base en cálculo" con la segunda derivada de una función puede usarse para justificar aseveraciones sobre la concavidad de la función original y sobre sus puntos de inflexión.
Hemos aprendido que la primera derivada f, prime nos da información sobre dónde la función original f crece o decrece y dónde f tiene puntos extremos.
La segunda derivada f, start superscript, prime, prime, end superscript nos da información acerca de la concavidad de la función original f y sobre dónde f tiene puntos de inflexión.
Revisemos qué es la concavidad
Una función es cóncava hacia arriba cuando su pendiente es creciente. Visualmente, una gráfica que es cóncava hacia arriba tiene forma de copa, \cup.
De manera similar, una función es cóncava hacia abajo cuando su pendiente es decreciente. Visualmente, una gráfica que es cóncava hacia abajo tiene forma de sombrero, \cap.
Un punto de inflexión es aquél en el que una función cambia de concavidad.
Cómo f, start superscript, prime, prime, end superscript nos da información sobre la concavidad de f
Cuando la segunda derivada f, start superscript, prime, prime, end superscript es positiva, significa que la primera derivada f, prime es creciente, lo que quiere decir que f es cóncava hacia arriba. Del mismo modo, f, start superscript, prime, prime, end superscript negativa significa que f, prime es decreciente y que f es cóncava hacia abajo.
f, start superscript, prime, prime, end superscript | f, prime | f |
---|---|---|
positiva plus | creciente \nearrow | cóncava hacia arriba \cup |
negativa minus | decreciente \searrow | cóncava hacia abajo \cap |
cruza el eje x (cambia de signo) | punto extremo (cambia dirección) | punto de inflexión (cambia de concavidad) |
Aquí está un ejemplo gráfico:
f, start superscript, prime, prime, end superscript | f, prime | f |
---|---|---|
Observa cómo f es start color #aa87ff, start text, c, o, with, \', on top, n, c, a, v, a, space, h, a, c, i, a, space, a, b, a, j, o, end text, end color #aa87ff a la izquierda de x, equals, c y start color #1fab54, start text, c, o, with, \', on top, n, c, a, v, a, space, h, a, c, i, a, space, a, r, r, i, b, a, end text, end color #1fab54 a la derecha de x, equals, c.
Error común: confundir la relación entre f, f, prime y f, start superscript, prime, prime, end superscript
Recuerda que para que f a sea cóncava hacia arriba, f, prime debe ser creciente y f, start superscript, prime, prime, end superscript debe ser positiva. Otros comportamientos de f, f, prime y f, start superscript, prime, prime, end superscript no están necesariamente relacionados.
Por ejemplo, en el problema 1 anterior, f, start superscript, prime, prime, end superscript es cóncava hacia arriba en el intervalo open bracket, minus, 8, comma, minus, 2, close bracket, pero eso no significa que f sea cóncava hacia arriba en ese intervalo.
¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.
Error común: malinterpretar la información gráfica presentada
Imagínate un estudiante que intenta resolver el problema 2 de arriba y piensa que la gráfica es de la primera derivada de h. En ese caso, h tendría un punto de inflexión en A y B, porque estos son los puntos donde h, prime cambia de dirección. Este estudiante estaría cometiendo un error, porque se trata de la gráfica de la segunda derivada y la respuesta correcta es D.
Recuerda siempre asegurarte de que entiendes la información dada. ¿Nos dan la gráfica de la función f, de la primera derivada f, prime, o de la segunda derivada f, start superscript, prime, prime, end superscript?
El uso de la segunda derivada para determinar si un punto extremo es un máximo o un mínimo
Imagina que nos dicen que una función f tiene un punto extremo en x, equals, 1, y que es cóncava hacia arriba en el intervalo open bracket, 0, comma, 2, close bracket. ¿Podemos decir, con base en esta información, si ese punto extremo es un máximo o un mínimo?
La respuesta es SÍ. Hay que recordar que una función que es cóncava hacia arriba tiene forma de copa, \cup. Con esa forma, una curva solo puede tener un punto mínimo.
Del mismo modo, si una función es cóncava hacia abajo y tiene un extremo, ese extremo debe ser un punto máximo.
¿Quieres más practica? Intenta este ejercicio.
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