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Justificación mediante la segunda derivada: punto de un máximo

Cuando la derivada de una función es cero, podemos justificar si la función tiene un máximo relativo al estudiar la segunda derivada.

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Transcripción del video

nos dicen dado que h prima de menos 4 es igual a 0 cuál es la justificación apropiada con base en el cálculo tomando en cuenta que h tiene un máximo relativo en x igual a menos 4 aquí podemos ver la gráfica de h en color azul y no tenemos la gráfica de h prima de x pero si tenemos la gráfica de la segunda derivada de h en color anaranjado nos dicen que h prima de menos 4 es igual a 0 esto quiere decir que la primera derivada de h en x igual a menos 4 es igual a 0 podemos verlo en la gráfica la pendiente de la recta tangente cuando x es igual a menos 4 es igual a 0 teniendo en cuenta esto cuál sería la justificación con base en el cálculo tomando en cuenta que h tiene un máximo relativo en x igual a menos 4 la primera opción dice que la segunda derivada en x igual a menos 4 es negativa que nos dice esto si la segunda derivada es negativa quiere decir que la primera derivada disminuye qué es otra forma de decir que en el punto x igual a menos 4 es cóncava hacia abajo lo que significa que la forma general de nuestra curva va a lucir algo así alrededor de x igual a menos 4 si la pendiente en x igual a menos 4 es 0 nos dice que en efecto tenemos un máximo relativo en ese punto si la segunda derivada en ese punto hubiera sido positiva entonces tendríamos una curva cóncava hacia arriba y si nuestra derivada fuera igual a 0 en ese punto entonces tendríamos un mínimo relativo esta opción es correcta la segunda derivada es negativa cuando x es menos 4 lo que significa que tenemos una u invertida y que el punto donde la primera derivada es 0 indica que tenemos un máximo relativo encontramos la respuesta correcta vamos a descartar las otras opciones la segunda opción dice h incrementa antes de x igual a menos 4 esto es cierto lo vemos en la gráfica y disminuye después lo que también es cierto es una forma de darnos cuenta de que en ese punto tenemos un máximo relativo suponiendo que la función es continua en x igual a 4 esto es verdadero es una justificación de que hay un máximo relativo pero no es una justificación con base en el cálculo es por eso que descartamos esta opción la siguiente opción dice la segunda derivada de h tiene un mínimo relativo en x igual a menos 4 esto parece verdadero hay un mínimo relativo aquí pero esto no justifica porque h tiene un máximo relativo en x igual a menos 4 por ejemplo podemos tener un mínimo relativo en la segunda derivada pero la segunda derivada puede ser positiva en ese punto como lo estoy dibujando aquí seguimos teniendo un mínimo relativo pero si es positivo en este punto tendremos que es cóncava hacia abajo lo que significa que en x igual a menos 4 la función original no tendrá un punto máximo relativo sino que tendrá un mínimo relativo este enunciado no es suficiente para asegurarnos de que tenemos un máximo relativo la segunda derivada tiene que ser negativa en ese punto la última opción dice las derivada de h es cóncava hacia arriba y al ver la gráfica parece que esto es cierto pero esto por sí solo no justifica que la función original sea cóncava hacia arriba podemos usar este mismo ejemplo que acabo de dibujar es una segunda derivada potencial que es cóncava hacia arriba pero es positiva en todo este intervalo y si esto se cumple significa que la primera derivada se incrementa en este intervalo y esto significa que la función original es cóncava hacia arriba también si esto ocurre no tendremos un máximo relativo en la función original en este punto descartamos esta última opción y con esto terminamos