Justificación mediante la segunda derivada: punto de inflexión

la función dos veces diferenciable efe y su segunda derivada fbi prima se grafican a continuación lo puedes ver aquí de hecho estoy trabajando en un artículo en la can academia en español que se llama justificación mediante la segunda derivada podemos ver aquí a efe de color azul ya mi prima de color anaranjado y el problema continúa así a cuatro estudiantes se les pidió dar una justificación apropiada con base en el cálculo para garantizar que f es cóncava hacia arriba cuando x es mayor que 1 entonces veamos si estamos de acuerdo con esta afirmación cuando x es más grande que 1 podemos ver que fbi prima es mayor que 0 es positiva lo que nos dicen que f es cóncava hacia arriba en ese intervalo es decir nuestra pendiente de la recta tangente se mantiene creciendo y puedes ver que la segunda derivada antes que x igual a 1 es negativa y en x igual a 10 pero a nosotros nos interesa qué es lo que pasa cuando x es mayor que 1 y observa efe mi prima es positiva y se mantiene creciendo así que en efecto podemos ver que en el intervalo donde x es mayor que 1 la función f es cóncava hacia arriba recuerda la justificación con base en el cálculo de que en ese intervalo tenemos una concavidad hacia arriba es que tenemos la segunda derivada positiva en este intervalo porque es la segunda derivada es positiva la primera derivada está creciendo y por lo tanto la función original es cóncava hacia arriba con base en esto me preguntan puedes emparejar los comentarios del profesor con las justificaciones ahora veamos las justificaciones de los alumnos e intentemos dar los mejores comentarios a estas justificaciones lo haría el profesor la primera dice la gráfica de f tiene forma de tazón es decir una y bueno eso es cierto pero no es una justificación matemática necesitamos usar el conocimiento que nos da la segunda derivada así que pondré esta no es una justificación con base en el cálculo la segunda dice la segunda derivada de f está sobre el eje x cuando x es mayor que 1 bueno eso es exactamente lo que decíamos si la segunda derivada de f está sobre el eje x es decir es positiva significa que mi primera derivada está creciendo y que mi función efe tiene una concavidad hacia arriba por lo tanto esta es una justificación con base en el cálculo así que pondré muy bien estás en lo correcto la tercera justificación dice es positiva esto es muy ambiguo cuál es positiva si el alumno escribe esto entonces el profesor se podría preguntar cuál es positiva la función es positiva o la primera derivada es positiva o la segunda derivada es positiva así que el comentario que yo pondría por favor utiliza un lenguaje más preciso esta respuesta no puede aceptarse como una justificación correcta y la última dice la segunda derivada de f es creciente cuando x es mayor que 1 ojo eso no justifica que tengamos una concavidad hacia arriba por ejemplo la segunda derivada es creciente antes de x igual a 1 y no tenemos una concavidad hacia arriba de hecho tenemos una concavidad hacia abajo entonces pondré esto no justifica el hecho de que sea cóncava hacia arriba y hemos terminado hasta la próxima