If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Analizar problemas que involucran razones relacionadas

Los problemas de razones relacionadas son problemas verbales en los que razonamos sobre la razón de cambio de una cantidad al usar información que tenemos de la razón de cambio de otra cantidad que está relacionada con la primera. Vamos a familiarizarnos con esta clase de problemas.
Los problemas de razones relacionadas son problemas de aplicación donde encontramos la razón a la que una cantidad está cambiando, relacionándola con otras cantidades cuyas razones son conocidas.

Ejemplo resuelto de un problema de razones relacionadas

Imagina que nos dan el siguiente problema:
El radio r(t) de un círculo crece a una razón de 3 centímetros por segundo. En cierto instante t0, el radio mide 8 centímetros.
¿Cuál es la razón de cambio del área A(t) del círculo en ese instante?

Dar sentido a las cantidades y sus razones

En general, estamos lidiando con un círculo cuyo tamaño cambia en el tiempo. Hay dos cantidades referidas en el problema:
r(t) es el radio del círculo después de t segundos, y se mide en centímetros.
A(t) es el área del círculo después de t segundos, y se mide en centímetros cuadrados.
Un círculo tiene un radio etiquetado como r de t y un área etiquetada como A de t.
El problema también se refiere a las razones de estas cantidades. La razón de cambio de cada cantidad está dada por su derivada:
r(t) es la razón de cambio instantáneo a la cual cambia el radio del círculo al tiempo t, y se mide en centímetros por segundo.
A(t) es la razón de cambio instantáneo a la cual cambia el área al tiempo t, y se mide en centímetros cuadrados por segundo.

Dar sentido a la información dada

Nos dicen que el radio crece a una razón de 3 centímetros por segundo. Esto significa que r(t)=3 para cualquier valor de t.
También nos dicen que en cierto instante t0, el radio mide 8 centímetros. Esto significa que r(t0)=8. Observa que este caso solo es para t0, no para cualquier valor de t.
Finalmente, nos piden determinar la razón de cambio de A(t) en el instante t0. Matemáticamente, buscamos A(t0).

Relacionar el área y el radio

Después de que hemos hecho sentido de las cantidades relevantes, debemos buscar una ecuación, o fórmula, que las relacione. En nuestro caso, las cantidades son el área y el radio de un círculo. Estas cantidades se relacionan por medio de la fórmula del área de un círculo:
A=πr2

Derivar

Para encontrar A(t0), necesitamos derivar de cada lado de la ecuación. Una vez que hayamos hecho esto, seremos capaces de relacionar A(t0) con otros valores conocidos, como r(t0), que nos permitirá determinar A(t0).
Como no tenemos fórmulas explícitas para A(t) y r(t), utilizaremos diferenciación implícita:
A(t)=π[r(t)]2ddt[A(t)]=ddt[π[r(t)]2]A(t)=2πr(t)r(t)
Este es el núcleo de nuestra solución: al relacionar las cantidades (es decir, A y r), fuimos capaces de relacionar sus razones (es decir, A y r) por medio de diferenciación. ¡Esta es la razón por la que estos problemas se llaman "problemas de razones relacionadas"!

Resolver

Observa que la ecuación que obtuvimos es verdadera para cualquier valor de t, y específicamente para t0. Por lo tanto, podemos sustituir r(t0)=8 y r(t0)=3 en esa ecuación:
A(t0)=2πr(t0)r(t0)=2π(8)(3)=48π
En conclusión, encontramos que en t0, el área crece a una razón de 48π centímetros cuadrados por segundo.
Problema 1.A
El conjunto de problemas 1 te guiará por los pasos para analizar el siguiente problema:
La base b(t) de un triángulo decrece a una razón de 13 m/h, y la altura h(t) del triángulo crece a una razón de 6 m/h. En cierto instante t0, la base mide 5 m y la altura mide 1 m. ¿Cuál es la razón de cambio del área A(t) del triángulo en ese instante?
Empareja cada expresión con sus unidades.
m
m/h
m2
m2/h
b(t)
A(t0)
h(t0)
dAdt

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

Error común: confundir cuáles expresiones son variables y cuáles son constantes

Como has visto, los problemas de razones relacionadas involucran múltiples expresiones. Algunas representan cantidades y otras representan sus razones. Algunas están cambiando, y otras son constantes.
Es importante que te asegures de que entiendes el significado de todas las expresiones y de que eres capaz de asignarles sus valores apropiados (cuando los conoces).
Te recomendamos realizar un análisis similar a aquellos mostrados en el ejemplo y en el conjunto de problemas 1: ¿cuáles son las cantidades relevantes? ¿Cuáles son sus razones? ¿Cuáles son sus unidades? ¿Cuáles son sus valores?
Problema 2
Considera este problema:
Dos automóviles conducen hacia una intersección desde direcciones perpendiculares. La velocidad del primer automóvil es de 50 km/h, y la del segundo automóvil es de 90 km/h. En cierto instante t0, el primer automóvil está a una distancia x(t0) de 0.5 km de la intersección y el segundo automóvil está a una distancia y(t0) de 1.2 km de la intersección. ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia d(t) entre los automóviles en ese instante?
¿Cuál ecuación debe usarse para resolver el problema?
Escoge 1 respuesta:

Error común: seleccionar una ecuación que no representa el problema dado

Como has visto, la ecuación que relaciona todas las cantidades juega un papel fundamental en la solución del problema. Usualmente es útil tener alguna clase de diagrama con todas las cantidades relevantes que describa la situación. Consideremos el problema 2. Este problema describe un triángulo rectángulo.
Se forma un triángulo rectángulo entre la intersección, el primer automóvil y el segundo automóvil. El ángulo recto está en la intersección. El cateto que va al primer automóvil está etiquetado como x de t. El cateto que va al segundo automóvil está etiquetado como y de t. La hipotenusa, entre los automóviles, mide d de t.
El diagrama clarifica que la ecuación que buscamos relaciona los tres lados del triángulo. Esto lo podemos lograr usando el teorema de Pitágoras:
[d(t)]2=[x(t)]2+[y(t)]2
Sin el diagrama, podemos tratar accidentalmente a d(t) como si fuera el área del triángulo...
d(t)=x(t)y(t)2
...o tratar a x(t), y(t) y d(t) como si fueran los tres ángulos del triángulo...
d(t)+x(t)+y(t)=180
...o tal vez tratar a d(t) como si fuera un ángulo y formara alguna ecuación trigonométrica.
tan[d(t)]=y(t)x(t).
Todas estas ecuaciones podrían ser útiles en otros problemas de razones relacionadas, pero no para el problema 2.
Problema 3
Considera este problema:
Una escalera de 20 metros se apoya contra una pared. La distancia x(t) entre la parte baja de la escalera y la pared crece a una razón de 3 metros por minuto. En cierto instante t0, la parte alta de la escalera está a una distancia y(t0) de 15 metros del suelo. ¿Cuál es la razón de cambio del ángulo θ(t) entre el suelo y la escalera en ese instante?
¿Cuál ecuación debe usarse para resolver el problema?
Escoge 1 respuesta:

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

¿Quieres unirte a la conversación?

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.