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Ejemplo resuelto: derivar funciones relacionadas

A veces tenemos una ecuación que relaciona dos funciones de la misma variable. Aprende cómo usar la derivación implícita para encontrar las derivadas de las funciones con respecto a esa variable.

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  • Avatar starky tree style para el usuario borchukluciano
    Hola. No entiendo por que en el min buscan cuanto tiene que valer x. Lo que hice, fue remplazar x=0 y x=pi/2.
    Por lo que obtuve que dy/dt se encuentra entre
    0 < dy/dt< 10/(2)^1/2. Me podrían ayudar por favor? Gracias!!
    (2 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar para el usuario
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Transcripción del video

las funciones diferenciables x que están relacionadas por la siguiente ecuación seno de x + coseno de james es igual a la raíz de 2 además la deriva tate x con respecto a tema es igual a 5 y nos dicen encuentran la derivada de que con respecto a tema cuanto que es igual a cuartos y 0 es menor que x menor que pi medios muy bien dado que nos dicen explícitamente cuánto es la derivada de x con respecto a t y queremos encontrar cuánto es la derivada de 10 con respecto a tema es buena suposición que tanto x como james son funciones de t así que podemos reescribir esta ecuación que tenemos acá arriba de la siguiente forma podemos decir que el seno el seno de esta función x pero que es a su vez una función de t ok más el coseno de esta función james que a su vez es una función de t ok esto va a ser igual a la raíz cuadrada de 2 y tal vez te parezca un poco confuso ya que no estamos acostumbrados a ver a x como una función de una tercera variable y estamos acostumbrados a que ya sea una función de x pero recuerda x que son solo variables x podría ser efe tt y que puede hacer je t'aime en lugar de que este tema y deje de tema y tal vez eso te parezca un poco más normal y ahora si lo que necesitamos hacer es encontrar la derivada de que con respecto a tema entonces necesitamos encontrar la derivada con respecto a tema de ambos lados de esta ecuación así que manos a la obra del lado izquierdo me voy a tomar la derivada con respecto este parámetro tema ok de esto perfecto y también lo voy a hacer para el segundo sumando la derivada con respecto a ti ok de esto que tengo aquí y del lado derecho también voy a hacer lo mismo si estoy haciendo algo de un lado voy a hacer lo mismo del otro lado la derivada con respecto a t ok de esta constante de la raíz de 2 perfecto por lo tanto pensemos en estas derivadas primero quiero tomar la derivada con respecto a tema de el seno de x dt que voy a poner con este color ok si quiero encontrar la derivada con respecto a tema del seno de álbum que es una función de temp entonces tengo que aplicar la regla de la cadena y por lo tanto primero tengo que encontrar la derivada con respecto a x con respecto a x de la función seno de x de la función a seno de x podría poner x dt pero por simplicidad pondré simplemente el seno de e ok ya esto hay que multiplicarlo por la derivada de lo de adentro con respecto a tema porque x es una función de t entonces a esto habrá que multiplicarlo por la derivada de x con respecto a t ok tal vez esto parezca un poco contraintuitivo porque sólo hemos aplicado la regla de la cadena usando xy 10 pero lo único que estoy haciendo es tomar la derivada con respecto a x de la función exterior en este caso la función exterior es el seno de x ya esto multiplicarlo por la derivada de la función interior que es x dt con respecto al parámetro t y podemos hacer lo mismo para el segundo término y decir a esto le tengo que sumar esta derivada que voy a poner de color rosa entonces ahora me voy a aplicar en la derivada de esto que tengo aquí y quieres esta derivada observa vamos a aplicar lo mismo la regla de la cadena bueno me va a quedar la derivada con respecto a james de la función exterior la derivada con respecto a ok de la función exterior que en este caso es la función coseno de g keiko seno de que ya esto hay que multiplicarlo por la derivada de la función interior con respecto a t es decir la derivada de y con respecto a este parámetro te ok y esto va a ser igual y después me queda la derivada con respecto a tema de una constante de la raíz de dos bueno esto no cambia con respecto al tema por lo tanto su derivada a su tasa de cambio va a ser simplemente cero muy bien ahora pensemos en estas derivadas primero tengo la derivada con respecto a x del seno de x bueno eso es el coseno de x el coseno de x y no olvidemos a esto multiplicarlo por la derivada de x con respecto al tema la derivada de x con respecto a t ok estos dos están multiplicando y después observa tengo la derivada del coseno de james con respecto a gem bueno esto es el menos se note 10 así que voy a quitar este signo de más y voy a poner aquí un signo de menos y voy a poner aquí el seno de y el seno de esta variable james ok y no olvidemos este de james de tema de g dt ok y todo esto es igual a cero esto es igual a cero ok espero que hasta aquí vayamos bien ahora qué cosa de aquí podemos sustituir con estos datos que nos dan bueno pues nos dicen que la derivada de x con respecto a tm es 5 es este dato que nos dan por lo tanto aquí tenemos el valor de 5 y bueno queremos encontrar cuántas la derivada de que con respecto a tema pero también nos dicen cuánto vale bien aquí nos dicen que ayer vale y cuartos entonces en lugar del seno de james voy a poner el seno de pib cuartos ahora parece que nos faltan dos incógnitas no sabemos cuánto vale x y tampoco sabemos cuántos las derivadas de ya con respecto a tema así que cuánto vale x bueno cuanto vale x cuando jeff es igual a pi cuartos para encontrar ese valor lo que podemos hacer es regresar a la ecuación original que tenemos acá arriba y decir cuando es igual a pi cuartos bueno entonces me quedaría que el seno de x ok el coche no deje pero lo que queremos saber es cuánto vale x cuando lleva a alep y cuartos entonces el coseno de pi cuartos esto es igual a la raíz de 2 ok ahora cuánto vale el coseno de pi cuartos bueno estamos en el primer cuadrante si pensamos en el círculo unitario estamos en 45 grados y esto es simplemente raíz de 2 sobre 2 raíz de 2 sobre 2 ok entonces me queda que el seno de x es igual y si tengo raíz de dos días y sólo quito raíz de 2 sobre 2 bueno me quedo justo en la mitad por lo tanto raíz de 2 - raíz de 2 sobre 2 es raíz de 2 sobre 2 y ahora nos preguntamos para qué valor de x el seno de x es raíz de 2 sobre 2 bueno pues recuerdan x está en el primer cuadrante 0 es menor que x menor que pi medios por lo tanto vivimos aquí para qué ángulo que esté aquí su seno es raíz de dos sobre dos pues es el valor de pi cuartos esto nos dice que x tiene que ser también y cuartos cuando james spears cuartos así que déjame ponerlo x es igual a pi cuartos cuando me lleva al epp y cuartos y por lo tanto aquí puedo poner pi cuartos también y cuartos y es más déjenme copiar otra vez todo esto para que queden limpio me quedaría 5 por el coseno de pi cuartos déjame ponerlo así el seno de cuartos de ping cuartos ok a esto le quito la derivada de ella con respecto a t la derivada de james con respecto a t y lo multiplicó por el seno también de pi cuartos de cuartos esto me tiene que dar igual a cero ok ahora nosotros ya sabemos que el coste no de pi cuartos esto es raíz de 2 sobre 2 lo acabamos de ver raíz de 2 sobre 2 y también sabemos que el seno de pi cuartos es raíz de 2 sobre 2 lo acabamos de ver raíz de 2 sobre 2 entonces simplemente me quedan 5 la raíz de 2 sobre 2 a raíz de dos sobre 2 ya esto le quitó de james dt que ésta a su vez multiplicado por la raíz de 2 sobre 2 y esto tiene que ser igual a 0 ok y si esto es igual a 0 como podemos encontrar cuánto vale de jane de t pues qué te parece si de ambos lados divido entre raíz de dos sobre dos así que me quedaría aquí en raíz de dos sobre dos entre raíz de dos sobre dos bueno eso es simplemente uno después tengo raíz de dos sobre dos / raíz de dos sobre dos bueno esto también es uno y por último me quedaría cero entre raíz de dos sobre dos lo cual es simplemente cero por lo tanto todo esto se simplifica a 55 por 1 de 5 ok menos dt de james dt esto es igual a cero o dicho de otra manera si sumamos de siete de ambos lados voy a obtener que dèiem de t que es justo lo que buscábamos la derivada de 10 con respecto a ti es simplemente 5 de lujo entonces aquí lo tienes la derivada de ye con respecto a temps es igual a 5 cuando se cumplen todas estas cosas cuando la derivada de x con respecto a t es igual a 5 cuando lleva al epp y cuartos y cuando 0 es menor que x menor que pi medios hasta la próxima