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Transcripción del video

hay situaciones donde tienes algún tipo de función como esta la cual es una función no lineal fx igual a 1 entre x menos 1 y está su gráfica o al menos una parte de ella y justo lo que queremos va a ser aproximar la con una función lineal especialmente alrededor de un cierto valor entonces lo que queremos encontrar es una aproximación y déjame escribirlo quiero encontrar una aproximación lineal de esta función efe alrededor de un cierto valor en este caso va a ser alrededor de x igual a menos uno entonces a qué nos referimos con esto bien pues vamos a observar esta gráfica de aquí y se observa cuando x vale menos 1 f1 toma el valor bueno es cercano como a menos un medio estaríamos como por aquí y lo que queremos hacer es aproximar lo con una línea alrededor de y lo que básicamente vamos a hacer es aproximar lo con la ecuación de la recta tangente así que si tomo este color la recta tangente se vería más o menos así más o menos así y como puedes ver cuando vamos más allá de este valor más allá de x igual a menos 1 la aproximación se vuelve peor y peor y peor pero si permanecemos alrededor de x igual a menos 1 la aproximación es bastante decente es tan buena como puedas llegar a una aproximación lineal o al menos en este ejemplo es una aproximación lineal muy buena así que cuando la gente diga hey encuentra la aproximación lineal de f alrededor de x igual a menos 1 o digan cuál de las siguientes es la mejor aproximación y todas tus opciones sean líneas entonces básicamente te están encontrar la ecuación de la recta tangente en x igual a menos 1 así que hagamos eso así que para encontrar la ecuación de la recta tangente primero pensemos en la ecuación de una recta la ecuación de la recta la podemos ver como james es igual a m x + b donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje o bueno también hay otras formas en la que podríamos pensar una recta podremos pensarlo en términos de punto pendiente donde podremos decir que quien menos alguna que exista en esta recta esto va a ser igual a la pendiente a la pendiente que multiplica a x menos su correspondiente x 1 es decir el punto x 11 se sitúa en algún lugar de esta recta de hecho a veces me gusta escribir esta forma de punto pendiente de la siguiente manera como yo menos de 1 esto a su vez dividido entre x menos x 1 esto es igual a la pendiente y me gusta porque esto viene directamente de la idea de que si x 1 y 1 están en la recta entonces la pendiente entre cualquier otro punto de la recta y este punto va a ser igual a la pendiente de tu recta así que podemos pensarlo de cualquiera de estas tres maneras entonces primero vamos a encontrar la pendiente de la recta tangente y ahí es donde la derivada es útil entonces primero ponemos aquí a efe de x fx es igual a am y en lugar de poner esto voy a escribirlo como x menos 1 esto elevado a la potencia menos 1 y esto lo va a ser mucho más claro para que podamos usar la regla de la potencia y un poco de la regla de la cadena cuando encontremos la derivada porque ahora sí puede decir que la derivada de f con respecto a x va a ser igual a bueno primero utilicemos la regla de la potencia porque nos vamos a tomar la derivada de x menos 1 alan menos 1 con respecto a x menos 1 bien eso solamente va a ser bajar la potencia que tenemos aquí va a ir aquí y me quedaría menos 1 que multiplica a x menos 1 esto elevado a la potencia menos 2 y ahora habrá que multiplicar esto por la derivada de x 1 con respecto a x pero bueno eso va a ser 1 la derivada de x con respecto a x es 1 y la derivada de menos 1 con respecto a x es cero así que a esto lo multiplicamos por 1 o simplemente si queremos podemos quitar esto porque no va a afectar nuestro valor y ahora sí sí queremos evaluar esto cuando x es igual a menos 1 entonces voy a obtener lo siguiente la derivada de esta función cuando x vale menos uno va a ser lo mismo que bueno aquí tengo menos uno y abajo me va a quedar como y en lugar de x voy a poner menos 1 me va a quedar menos uno menos uno esto elevado al cuadrado pero menos 1 - 1 - 2 entonces me va a quedar menos los elevado al cuadrado y bueno esto lo puedo simplificar a menos 1 cuarto de lujo así que la pendiente de nuestra recta tangente en x igual a menos 1 es de menos un cuarto entonces puedo escribir que la pendiente de esta recta tangente es de menos un cuarto ok y ahora que tengo la pendiente ya puedo escribir por acá abajo la ecuación de la recta tangente porque ya conocemos una x 1 y una reunión que se sitúan en la recta de hecho queremos usar el punto cuando x es igual a menos 1 entonces el punto de aquí el punto cuando x vale menos 1 efe de menos uno es bueno lo podemos sacar de clint 1 entre menos uno menos uno es menos un médium entonces es el punto menos uno coma menos un medio este punto se sitúa en nuestra recta es el punto que estamos buscando ya que en este punto la recta tangente la curva se intersectan y aún así podemos usar cualquiera de estas para obtener la ecuación de nuestra recta y entonces voy a decir que james - y uno que es menos un medio - un medio esto va a ser igual am bueno la pendiente que sabemos que es menos 1 cuarto que va a multiplicar bueno x menos x 10 x 1 vale menos 1 entonces me quedarían x menos menos uno ok y si ahora usamos un color neutral esto me va a quedar como déjame bajar un poco la pantalla esto me va a quedar como bueno ya que voy a obtener bien más un medio ok esto va a ser igual a am y ahora voy a distribuir este menos un cuarto por equis y bueno observa que aquí me quedan más 1 entonces esto es lo mismo que menos cuarto que multiplicada x menos 14 muy bien y si quiero despejar de que ayer voy a obtener que james es igual a menos un cuarto de equis y ahora voy a restar un medio de ambos lados entonces me quedan menos un cuarto menos un medio bueno es lo mismo que menos tres cuartos así que aquí lo tienen esta va a ser una muy buena aproximación lineal tan buena como puedas obtener una aproximación lineal para esta función no lineal esta que tenemos acá arriba alrededor de x igual a menos 1 y observa que realmente es muy cercano a lo que dibuje porque va a estar cortando al eje james cerca del valor de menos tres cuartos y bueno podrías decir por qué no me pidieron encontrar la ecuación de la recta tangente en x igual a menos 1 y claro que se puede pero en esta ocasión hay un pequeño extra aquí de procesamiento cognitivo ya que podemos decir muy bien puedo usar la ecuación de la recta tangente para aproximar esta función alrededor de x igual a menos 1
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