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Transcripción del video

supongamos que deseamos obtener un valor aproximado de la raíz cuadrada de 4.36 queremos obtener un valor aproximado de esto y no tenemos una calculadora en la mano cómo hacemos esto bien una manera es sabemos que la raíz cuadrada de 432 la raíz cuadrada principal de cuatro igualados así es que la raíz cuadrada de 4.36 va a ser ligeramente mayor a 2 pero cómo le hacemos para precisar eso eso es lo que te voy a enseñar en este vídeo un método para aproximar una función cerca de un valor que es conocido de qué estoy hablando bien supongamos que tenemos la función que tenemos la función fx igual a la raíz cuadrada dx que por supuesto es igual a x elevará a la un medio sabemos cuánto es efe dos sabemos que f12 sí perdón no es jefe de 23 f de 4 sabemos que efe de cuatro es igual a 2 la raíz cuadrada principal de cuatro es igualados y lo que queremos aproximar lo que queremos calcular es el valor de efe en 4.36 esta es otra manera de plantear exactamente la misma pregunta con la que iniciamos el video visualicemos la función construyamos nuestros ejes aquí tenemos el eje llegue este es el eje ye y aquí tenemos el eje x y voy a hacer la gráfica de ye igual a fx la gráfica de ye igual a efe de x es más o menos así no está mal no está mal me gráfica esta es la gráfica de ye igual a fx sabemos que este de cuatro igualados efe de cuatro más o menos por aquí tenemos 4 esto es igual a 2 no lo hice a escala este sería 2 y lo que queremos aproximar es el valor de efe en 4.36 y aquí tenemos 4.36 más o menos efe de 4.36 sería más o menos por aquí este es el valor que queremos aproximar efe de 4.36 insisto insisto no tenemos una calculadora en la mano entonces cómo hacemos esto usando lo que ya sabemos de la derivada qué tal si calculamos la ecuación de la recta tangente a este punto que tenemos aquí la ecuación de la recta tangente en x igual a 4 y usamos esa línea lización para aproximar localmente para aproximar valores cercanos a ese punto esta técnica se llama línea realización local lo que estoy diciendo es calculemos la ecuación de esta recta llamémosle el dx después usamos esa recta es decir que evaluamos l en 4.36 lo cual esperamos que sea más fácil de evaluar que esto que tenemos aquí y cómo hacemos esto una manera de hacerlo y obviamente hay varias maneras de encontrar la ecuación de una recta una manera va a ser entonces considerar que el lx lx va a ser igual a efe de cuatro va a ser igual a éste de cuatro que es dos más la pendiente la pendiente la recta tangente cuando x vale 4 que por supuesto es efe prima evaluado en cuatro meses la pendiente de esta recta dlx efe prima de 4 dejan escribir eso aquí estaré aquí es la pendiente en x igual a 4 la pendiente de esta recta tangente así es que el valor de cualquier otro punto va a ser eje de cuatro más la pendiente que multiplica a qué tan lejos se encuentra ese punto de 4 así es que va a ser por x menos cuatro veamos si esto hace sentido si sustituimos 4.36 aquí si sustituimos 4.36 de hecho déjame hacer un acercamiento a la gráfica para que nos demos cuenta qué está sucediendo así es que si éste sí éste es un acercamiento y estoy haciendo un acercamiento de esta región que tenemos aquí así es que este es el punto cuatro coma efe de cuatro y vamos a graficar ld x vamos a graficar el lx ésta es el lx y digamos que este punto de aquí digamos que este punto de aquí es 4.36 coma efe de 4.36 y ese valor df lo vamos a aproximar a través de la recta a través de l es decir lo vamos a aproximar con el valor que obtenemos a través de la recta donde este punto va a ser este punto va a ser 4.36 coma l de 4.36 que esta función evaluada cuando x es igual a 4.36 y cuánto es esto veamos lo hagamos el cálculo esto es efe de 4 f de cuatro que es dos más efe prima de 4 la pendiente la recta que es efe prima de cuatro que multiplica a 4.36 -4 4.36 -4 esto es 0.36 y eso hace sentido empiezas en dos y obtienes que tu cambio en x es 0.36 así es que tu cambio llegue va a ser la pendiente que multiplica al cambio en x y eso te lleva a ese punto calculemos entonces calculemos entonces cuál es el valor que corresponde a esta expresión para esto necesitamos calcular efe prima de 4 vayamos un poco arriba pero quiero dejar esta visualización aquí tenemos entonces que efe prima de x es igual a un medio por equis elevada a la menos un medio y aquí estoy usando la regla de potencias así que efe prima de cuatro es igual a un medio que multiplica a 4 elevado al menos un medio y esto es igual a un medio que multiplica a un medio 4 a un medio es 24 al menos un medio es un medio y un medio por un medio es igual a un cuarto así es que l de 4.36 y aquí nos merecemos unas fanfarrias l de 4.36 es igual a efe de cuatro que es no dejar de escribir todo efe de cuatro más más de usar el mismo amarillo que tenemos acá arriba efe de cuatro más efe prima de cuatro que multiplica a que multiplica a 4.36 4.36 poner lo mejor todo con este color con este nuevo color va a poner el 4.36 4.36 menos -4 -4 de hecho va a marcar los cuatros con el mismo color para que podamos identificar los visualmente y esto que es igual efe de cuatro ya vimos que es 2f prima de cuatro también ya calculamos que es igual a un cuarto está aquí es igual a un cuarto 4.36 -4 es igual a 0.36 y esto es igual a dos más un cuarto por 0.36 esto es 0.09 y esto esto es igual a 2.09 esa es nuestra aproximación y de acuerdo a como lo dibujamos aquí esta aproximación es un valor que es ligeramente mayor a la raíz cuadrada de 4.36 esto lo podemos escribir acá arriba esto es aproximadamente igual a no mejor vamos a ponerlo de la siguiente manera o escribir aquí abajo la raíz cuadrada de 4.3 hay seis que es igual a efe de 4.36 es aproximadamente igual a 2.09 ahora supongamos que apareció en esta calculadora y nos da curiosidad saber qué tan buena es nuestra aproximación aparece entonces nuestra calculadora y queremos obtener el valor de la raíz cuadrada de 4.36 y obtenemos que es igual a 2.0 88 la aproximación que obtuvimos coincide con el valor real a nivel centésimas es una muy buena aproximación y como pudimos vislumbra aquí a partir de nuestra gráfica nuestra aproximación es de hecho ligeramente mayor que el valor real
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