Demostración de un caso especial de la regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital nos ayuda a encontrar límites en la forma $\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{u(x)}{v(x)}$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction donde la sustitución directa termina en las formas indeterminadas $\dfrac00$start fraction, 0, divided by, 0, end fraction o $\dfrac\infty\infty$start fraction, infinity, divided by, infinity, end fraction.

La regla esencialmente dice que si el límite $\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{u'(x)}{v'(x)}$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction existe, entonces los dos límites son iguales:

Para seguir el curso de cálculo (AP Calculus) no necesitas saber la demostración de este hecho, pero creemos que siempre que la demostración sea accesible, hay algo que aprender de ella. En general, suele ser bueno buscar algún tipo de prueba o justificación de los teoremas que aprendes.