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Transcripción del video

supongamos que queremos evaluar el límite el límite de cuando x tiende a cero de la siguiente expresión de dos veces seno de dos veces de x menos seno de 2x y todo eso dividido entre eso dividido entre x menos seno de x ahora la primera cosa que yo siempre hago cuando tengo un problema de límites es intentar ver qué pasa si evaluamos con x igual a cero vamos a ver qué sucede porque con un poco de suerte no pasa nada muy loco vamos a intentarlo si intentamos hacer x igual a cero en esta expresión en el numerador tenemos dos veces seno de cero que es un cero menos seno de dos veces cero entonces queda seno de cero otra vez entonces tenemos un numerador igual a cero sequemos seno de cero es cero seno de dos veces cero es cero entonces otro cero todo eso de aire cero y en el denominador tenemos un cero menos seno de cero eso es otro cero y entonces ya encontramos una forma indeterminada para la regla del hopital es una forma 0 entre 0 de la que hablamos en el vídeo pasado entonces tal vez con un poco de suerte podamos utilizar la regla del hopital vamos a recordar lo que nos dice esta regla nos dice que si este límite de que existiera entonces debe ser igual al límite de la derivada del numerador entre la derivada del denominador entonces vamos a intentar hacer esto para ver si nos lleva a algún lugar entonces lo voy a hacer aquí abajo esta cosa suponiendo que existe va a ser igual al al límite de cuando x tiende a 0 de la derivada del numerador entonces vamos a hacer eso voy a hacer la derivada con color con color verde entonces vamos a hacerlo aquí abajito la derivada de 12 no de x es dos veces coseno de x dos coseno de x y luego tenemos que restar la derivada desde seno de 2x qué es dos veces cosenos de 2x menos dos veces coseno de 2 x ay usamos la regla de la cadena la derivada de adentro es 2 ahí está el 2 la derivada de lo de afuera es coseno el valor de lo de adentro es cosa de 2x entonces la derivada del numerador y para el denominador tenemos que derivar también la derivada de x es 1 la derivada de seno de x es cosa no de x es uno menos coseno de x entonces vamos a intentar evaluar este límite para ver que tenemos vamos a ver qué obtenemos si ponemos un cero aquí arriba tenemos dos x coseno de cero que es 2 a verlo voy a escribir así es 2 x cosas no es 0 que es uno es dos menos dos veces coseno de dos veces cero coseno de haberlo escribir mejor aquí a la derecha para que quede un poco más claro lo que estamos haciendo entonces tenemos una cosa del estilo dos veces coseno es cero que es dos menos dos veces coseno de dos veces cero entonces otra vez coseno de cero entonces es otra vez un 2 y eso hay que dividirlo entre entre este uno pasa directo lo ponemos así uno menos el coseno de cero que es uno entonces una vez más obtenemos una forma del estilo cero entre cero tenemos una cosa del estilo cero entre cero y esto que quiere decir que el límite no existe claro que no todavía podría existir simplemente puede ser que tengamos que usar la regla del hopital una vez más voy a derivar una vez más el numerador y el denominador y tomar el límite y a ver qué pasa entonces vamos a ver qué sucede si derivamos si el límite existe si la regla del hopital aplicará el límite tendría que ser igual al límite de cuando x tiende a cero de la derivada del numerador del nuevo numerador entre la derivada del denominador la derivada de 2 kos en x la derivada de coseno de x es menos seno de x entonces obtenemos menos dos veces seno de x y la derivada de coseno de 2x es menos dos veces senos de 2 x x este menos se hace más con el 2 de aquí se hace un 4 entonces nos va a quedar más cuatro veces seno de 2x déjame checar si lo hicimos bien entonces es un -2 multiplicado por la derivada de coseno de 2x usando regla de la cadena esto es 2x menos seno de 2 x 2 x 2 de 4 el menos por el menos se convierte en un más y tenemos un seno de 2x entonces el numerador cuando lo derivamos que de esta cosa y en el denominador va a otra derivada y para cómo vamos esto ya parece más bien un ejercicio de derivadas bueno derivada de 10 derivada de menos coseno de x estreno de x entonces ya ponemos seno de x entonces vamos a intentar hacer este límite vamos a evaluar x igual a 0 a ver qué sucede entonces este seno de 0 daba a 0 en el numerador menos 2 por seno de 0 va tercero y cuatro veces seno de dos veces 000 otra vez que se nos dé ser otra vez puros ceros entonces una vez más tenemos cero entre cero ya terminamos nos rendimos ya no funcionó el hospital claro que no todavía podemos pensar que este fue el problema inicial y entonces ahí tenemos que pensar verdad cambiar la mentalidad y decir otra vez podemos usarlo hospital tenemos una forma cero entre cero y pues vamos a derivar una vez más vamos a derivar una vez más a ver qué pasa si el límite existe esto debería ser igual al límite cuando x tiende a cero vamos a derivar el numerador el numerador de menos dos veces seno de x es menos 2 coseno de equis y luego hay que sumar la derivada de cuatro veces seno de 2x entonces es dos veces por cuatro es ocho veces coseno de 2x verdad la derivada de seno de 2x es dos veces coseno de 2 x x el 4 se convierte en 18 y luego la derivada del denominador la derivada del denominador es simplemente coseno de x verdad es seno de x derivados evaluamos aquí me falta una equis parece ser que ya logramos algo verdad ahora sí la regla del hopital parecer que ya va a funcionar porque ahora coseno de x se hace coseno es 0 que vale 1 ya no vamos a tener 0 entre 0 lo cual es una señal de que vamos avanzando un poco más ahora la derivada del numerador es perdón evaluando en cero en numeradores menos 2 por cocina es 0 que es menos 2 y hay que sumar ocho veces coseno de dos veces cero entonces esto va a ser igual al coseno de cero es uno se convierte en un 8 entonces fíjate ahora si menos 2 + 8 es un 66 entre 16 entonces la regla del hopital al fin aplicó entonces esta expresión si pensamos que era el problema inicial pues ya la aplicamos l'hospital entonces pues a ver tuvimos una forma indeterminada derivamos entonces que el límite de los cocientes de las derivadas si existe y no sólo existe sino que además sabemos que es igual a 6 es fantástico pues la regla de lópez asegura que el límite de esta otra expresión también es igual a 6 y más aún podemos repetir el argumento para ver que este otro límite también es igual a 6 por lo tanto podemos concluir que el límite inicial también vale 6 y terminamos
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