La regla de L'Hôpital: ejemplo de límite en el infinito

queremos encontrar el siguiente límite el límite de cuando x tiende a infinito de la siguiente expresión va a ser una función racional es 4x cuadrada menos 5x y todo eso de ahí dividido entre 1 menos 3 x cuadrada ahora infinito es un número extraño entonces no podemos simplemente poner x igual infinito en la expresión y ver qué sucede pero si quisiéramos entender qué le pasa a este límite podemos preguntarnos qué le pasa a la expresión conforme aquí se hace muy muy muy grande entonces podemos ver que conforme x se hace muy muy grande el numerador también el numerador tiende a infinito y en el denominador si ponemos una equis muy muy grande eso también bueno no se va precisamente a infinito 3x cuadradas y se va a infinito pero le estamos restando entonces si restamos algo que se va a infinito algo que no es infinito eso se va a menos infinito entonces bueno vamos a poner aquí a la derecha eso que acabamos de decir así si digamos que evaluamos el infinito entonces en el numerador nos queda infinito y en el denominador obtenemos menos infinito lo voy a poner por aquí menos infinito y esto que queda es una de las formas indeterminadas a las que se les puede aplicar lo hospital a lo mejor te preguntes para qué estamos haciendo esto si yo ya sé hacer este límite sin usar el hospital tiene razón probablemente se pasó más bien debería saber hacerlo de otra forma pero lo que quiero enseñarte es que la regla del hospital funciona para este tipo de problemas para los problemas que tengan una forma del estilo infinito entre más menos infinito entonces vamos a aplicar la regla del hopital entonces para aplicar la regla del hopital hay que pensar que si este límite existiera debe existir el límite del cociente de las derivadas entonces este límite debería ser igual al límite de cuando x tiene infinito y vamos a derivar a ver qué pasa la derivada del numerador la derivada numeral de 4x cuadrada es 8x lo voy a poner aquí 8 x hay que restarle 5 y eso hay que dividirlo entre la derivada del denominador la derivada de uno es cero la derivada de menos 3x cuadrada es menos 6x entonces una vez más si intentamos evaluar en infinito el numerador se va a infinito y en el denominador tenemos menos 6 por algo muy muy grande tres menos seis por infinito quedan menos infinito lo pongo por aquí menos infinito entonces hay que aplicar la regla del hopital una vez más si el límite de este cociente existiera debe existir el límite del cociente de las derivadas del numerador y del denominador y hasta país de trabalenguas pero sigamos entonces a ver este límite debe ser igual al límite de cuando x tiende a infinito de d vamos a cambiar el color de la nada pues vamos a poner la derivada de 8x menos 5 s es 8 y luego la derivada menos 6x esa es menos 6 y eso de aquí ya nos queda una constante pero sabemos que el límite de una constante sin importar a dónde tienda la variable es la constante entonces simplemente podemos poner esta cosa simplificada nos queda 4 entre menos 3 entonces nos queda menos 4 entre 3 menos cuatro tercios entonces este límite existe en medio habiten hemos una forma indeterminada aplicando la regla del hopital concluimos el límite de enmedio también existe y es igual al de abajo que es menos cuatro tercios aplicando el argumento una vez más para el límite original obtenemos que también vale menos cuatro tercios y para todos aquellos que les quedaba la duda si también se podía hacer factor izando una equis cuadrada están totalmente en lo correcto y lo voy a resolver así aquí al lado para que veamos que un problema puede tener muchas soluciones entonces bueno para este tipo de problema en realidad yo hubiera hecho eso que ustedes dicen yo hubiera factor izado una equis cuadrada entonces vamos a poner problema aquí el límite de cuando x tiende a infinito de 4x cuadrada menos 5 x dividido entre 1 menos 3 x cuadrada entonces esta expresión la vamos a poner igual al límite de cuando x tiene infinito déjenme poner una separación por aquí para indicar que esta igualdad viene de arriba y no de la izquierda entonces este límite es igual al límite cuando x tiene infinito de vamos a factorizar una x cuadrada una x cuadrada multiplicada por 4 por 45 entre x verdad x cuadrada x menos 5 / x es menos 5 x eso de ahí dividido vamos a factorizar una x cuadrada en el denominador x cuadrada x 1 / x cuadrada menos 3 ahí está entonces estas dos x cuadradas de aquí se van a cancelar las tachamos y entonces eso va a ser igual al límite de cuando x tiende a infinito de cuatro menos 5 / x eso de ahí dividido entre 1 entre x cuadrada menos 3 y ahora qué pasa cuando aquí se hace muy muy grande conforme x se hace súper super duper mega grande el denominador se hace muy muy grande y esto tiende a cero entonces lo ponemos así le ponemos cero y aquí abajo esta fracción también se hace cero entonces lo único que nos queda es un 4 entre menos 3 y esto es igual a menos cuatro tercios y en efecto no teníamos que estar a fuerza al hopital y existía esta otra solución de alternativa