Ecuaciones diferenciales separables

La separación de variables es un método común para resolver ecuaciones diferenciales. Veamos cómo se hace al resolver la ecuación diferencial ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{2x}{3y^2}}$‍:

En las filas $(1)$‍ a $(3)$‍, manipulamos la ecuación para llevarla a la forma $f(y)dy=g(x)dx$‍. En otras palabras, separamos $x$‍ y $y$‍ de tal manera que cada variable tenga su propio lado, incluyendo los términos $dx$‍ y $dy$‍ que formaban la expresión de la derivada ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$‍. Por ello, este método se llama "separación de variables".

En la fila $(4)$‍, tomamos la integral indefinida de cada lado de la ecuación. El principio subyacente, como siempre con las ecuaciones, es que si $f(y)dy$‍ es igual a $g(x)dx$‍, entonces sus integrales indefinidas también deben ser iguales.

En las filas $(5)$‍ y $(6)$‍, llevamos a cabo una integración con respecto a $y$‍ (en el lado izquierdo) y con respecto a $x$‍ (en el lado derecho) y luego despejamos $y$‍.

Solo sumamos una constante $C$‍ al lado derecho. Sumar una constante a ambos lados es innecesario, porque luego podemos mover una de ellas al otro lado y terminar con una sola.

En conclusión, la solución general de ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{2x}{3y^2}}$‍ es $y=\sqrt[3]{x^2+C}$‍. Puedes derivar $y$‍ para verificar esta solución.

Si volvemos a mirar la solución de la ecuación, observamos cómo la separación de variables que realizamos en las filas $(1)$‍ a $(3)$‍ nos permitió integrar cada lado y obtener una ecuación sin una derivada.