La derivada como concepto

seguramente ya estás familiarizado con la idea de la pendiente de una recta y si no estás te encargo que pausas el vídeo y vayas a repasar el concepto en khan academy lo único que hace es describir la tasa de cambio de una variable vertical con respecto a una variable horizontal así que por ejemplo aquí tengo mi clásica james en el eje vertical y mi clásica x en el eje horizontal y si quisiera encontrar la pendiente de esta recta podría elegir dos puntos digamos este punto y este punto y decir ok de este punto a este punto cuál es mi cambio en x bueno mi cambio en x va a ser la distancia que tenemos aquí el cambio en x este triángulo de aquí es la letra griega delta mayúscula la cual es un símbolo que representa el cambio así que tengo el cambio en x y bueno también puedo calcular cuánto es el cambio en james es decir que si este punto sube hasta este otro entonces tengo un cambio que será éste me cambio en yen y luego podemos definir la pendiente como el cambio en james / el cambio en x así que la pendiente va a ser igual a la tasa de cambio de nuestro eje vertical entre la tasa de cambio de nuestro eje horizontal a veces lo recordaremos como el desplazamiento vertical entre el desplazamiento horizontal y para cualquier recta asociamos esto con la pendiente porque cualquier recta tiene una tasa de cambio constante si tomas cualquier par de puntos de esta recta sin importar qué tan lejos o qué tan cerca se encuentren dondequiera que vivan en esta recta si tú calculas la pendiente esta será la misma y eso es lo que hace a una recta ser una recta lo fascinante en el cálculo es que vamos a construir las herramientas para pensar en la tasa de cambio no sólo de una recta antes llamada pendiente sino pensar en la tasa de cambio instantánea de una curva es decir a una curva cuya tasa de cambio no sea forzosamente constante así que por ejemplo aquí tengo una déjame hacerla donde la tasa de cambios de con respecto a x cambia constantemente pero si usamos nuestras herramientas habituales y pensamos en la tasa de cambio promedio entre estos dos puntos digamos entre este punto y este punto entonces primero pensemos en cuál sería esa tasa de cambio bueno la tasa de cambio promedio entre este punto y este punto va a ser la pendiente de la recta secante que conecta a estos dos puntos entonces será la pendiente de esta recta secante pero si tomamos otros dos puntos distintos por ejemplo estos otros dos la tasa de cambio promedio entre esos dos puntos observa que va a ser distinta parece que tiene una pendiente mayor así que cuando tengamos la pendiente de la recta secante entre dos puntos de la curva puedes ver que esa pendiente no siempre es la misma para cualesquiera dos puntos qué pasa si nos preguntamos algún poco más interesante cuál va a ser la tasa de cambio instantánea en un punto así que por ejemplo qué tan rápido está cambiando james con respecto a x en exactamente este punto exactamente cuando x toma este valor llamémosle no sea x1 bueno la forma de pensar la respuesta es trazar una recta tangente en ese punto es decir una recta que solo toque a este punto de la curva y podemos calcular la pendiente de esta recta tangente bueno esta será la tasa de cambio instantánea en ese punto así que en este caso la recta tangente se va a ver así si sabemos la pendiente de esta recta entonces podemos decir que esa es la tasa de cambio instantánea para ese punto y por qué digo instantánea bueno piensa un poco en el vídeo sobre usain bolt y los velocistas si quieres saber la tasa de cambio de usain bolt y lo piensas en un instante dado bueno tal vez esto describa su posición con respecto al tiempo y si que fuera la posición 10 que fuera el tiempo usualmente denotamos atp para el tiempo pero imagina que en este caso es x entonces si hablamos de lo que pasa en este justo momento estaríamos hablando de la tasa de cambio instantánea y esta es la idea central del cálculo diferencial que se le conoce con el nombre de derivada la pendiente de la recta tangente también la puedes llamar la tasa de cambio instantánea y estoy poniendo signos de exclamación porque esto es muy importante así que como denotamos una derivada bueno la primera forma es usando lo que se conoce como la anotación de leibovitz limits es uno de los fundadores del cálculo junto con isaac newton y la forma de denotar lo es decir que la pendiente de la recta tangente es igual de james en tren de equis ahora porque me gusta esta anotación bueno porque esta viene directamente de la noción de pendiente es decir de la idea del cambio en james entre el cambio en x y como verás en futuros vídeos una forma de pensar en la pendiente de la recta tangente es bueno calcular la pendiente de la recta secante entre qué tal este punto y este punto y después acercarnos y calcular la pendiente de la recta secante entre este punto y el que buscamos y después acercarnos mucho más y calcular la pendiente de la recta secante entre este punto y el que buscamos y ver qué es lo que pasa cuando el cambio en x se aproxima a cero así que cuando usas esta vez en lugar de delta es la forma de leibniz de decir hey qué pasa sin mi cambio en x se acerca a 0 y bueno la anotación de learning se le conoce como la anotación diferencial que es fijarnos en un cambio en jr con respecto a un cambio en x demasiado pequeños un cambio en muy pequeño con respecto a un cambio en x muy pequeño especialmente cuando el cambio en x pero como verás esta es la forma en la que calculamos una derivada ahora también hay otras notaciones por ejemplo si esta curva la llevamos james igual a fx entonces la pendiente de la recta tangente la podemos denotar como f prima del x1 en este caso esta es la forma lagrange de denotar una derivada y toma un poco de tiempo para que la veas pero lo que dice esencialmente es que f prima representa la derivada lo que nos dice es que tenemos la pendiente de la recta tangente para un punto dado así que si tú ingresas una equis en esta función obtiene su correspondiente y pero si tú ingreses una equis en f prima obtienes la pendiente de la recta tangente en ese punto y por último otra anotación que aparece menos en las clases de cálculo pero que aparece más en las clases de física es la anotación con un punto de punto que también denota a la derivada también puedes ver la anotación de 10 prima que es un poco más común es clase de matemáticas pero bueno es momento de seguir nuestro paso en la aventura del cálculo porque vamos a crear herramientas para calcular estas derivadas y si ya estás familiarizado con los límites entonces te será muy útil porque puedes pensar esto como el límite del cambio en que con respecto a x cuando el cambio en x se aproxima a 0 y no sólo vamos a averiguar esta derivada para un solo punto vamos a poder averiguar una ecuación que describa la derivada para cualquier punto de tu curva así que mantente muy atento