La derivada y las ecuaciones de la recta tangente

la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto 23 pasa a través del punto 76 encuentra f prima de 2 siempre que te encuentres con algo por el estilo la verdad es que ayuda bastante visualizarlo puedes dibujar lo en algún lugar o puedes simplemente visualizarlo en tu cabeza pero como por el momento tú no puedes saber qué es lo que pasa adentro de mi cabeza vamos a dibujarlo si es que por aquí estoy dibujando la información que nos dan en este ejercicio este es el eje x este es el eje y y los puntos relevantes en este ejercicio son 23 y 76 así es que en el eje de las x vamos a poner 12 4 5 6 7 y en el eje de leyes vamos a poner 1 2 3 4 5 y 6 tenemos aquí al punto 2 3 el punto 2,3 gay este es el punto 2 3 y también tenemos al punto 7 6 que se encuentra en el 7,6 aquí está el punto 76 y ahora recordemos qué es lo que nos dice este ejercicio nos dice que la recta tangente a efe en este punto pasa por el punto 76 pero a ver si es la recta tangente df en el punto 23 entonces esa recta también tiene que pasar por el punto 23 de hecho es el único punto en el que sabemos que la tangente efe y se intersectan así es que la tangente pasa por el punto 23 y nos están diciendo que pasa por el punto 76 y para definir una recta sólo necesitamos dos puntos entonces sabemos que la recta tangente se ve más o menos así bueno no me quedo tan bien se ve más o menos así bueno ahora sí salió suficientemente bien esta recta es tangente a la función f en el punto 23 y sabemos que pasa por el punto 76 no sabemos nada más de efe pero podríamos imaginarnos cómo se ve la función f podría verse así lo único que necesitamos es que sea tangente a la recta en el punto 23 así es que cuando nos dicen encuentra f prima de 2 lo que realmente nos están pidiendo aquí es que encontremos la pendiente de la tangente a efe x2 y bueno si x es igual a 2 la recta tangente a la gráfica de f es esta recta que tenemos aquí en este ejercicio nos dieron dos puntos que pasan por la recta tangente a efe cuando x es igual a 2 así es que simplemente tenemos que encontrar la pendiente de esta recta porque está pendiente va a ser la tasa de cambio de la función f en este punto es la derivada de f en 2 la pendiente de la recta tangente porque ésta es la recta tangente a efe así es que encontremos está pendiente ahora como sabemos la pendiente es el cambio en el eje de leyes entre el cambio en el eje de las x así es que si estamos yendo de 23 a 76 el cambio en x es igual a ver estamos pasando de x igualados a x 7 entonces el cambio en x 5 y también necesitamos el cambio en jeff el cambio es igual bueno pues estamos yendo de 3 6 así es que el cambio es igual a 3 y la tasa de cambio o sea el cambio entre el cambio en x es igual a 3 entre 5 así es que la pendiente de esta recta es tres quintos lo cual nos dice que la pendiente de la recta tangente a efe en 2 es tres quintos y eso también es la derivada de f en dos porque esta es la recta tangente a efe en dos bueno ahora vamos a hacer otro ejercicio para una función g sabemos que g de menos uno es igual a tres y que g prima de menos uno es igual a menos dos cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g cuando x es igual a menos uno bueno nuevamente me parece que es una muy buena idea visualizar todo ejercicio entonces ponemos por aquí el eje de la siesta el eje del h y el eje de las x eje de las x veamos sabemos qué g de menos 1 es igual a 3 entonces el punto menos 13 está en nuestra función tenemos por aquí menos 1 y 1 2 y 3 este punto pertenece a la gráfica de g el punto menos 13 está en nuestra función g ahora por otro lado también sabemos que g prima de menos 1 es menos 2 y esto lo que nos dice es que la pendiente de la recta tangente a la función g en este punto es menos 2 la derivada de g en menos 1 es menos 2 la pendiente de la recta tangente a g cuando x es igual a menos 1 es menos 2 así es que vamos a usar esta información para dibujar la recta tangente como tiene una pendiente de menos 2 se ve más o menos así si nos movemos en el eje de las x en sentido positivo si tenemos un cambio en x de 1 entonces bajamos 2 en el eje de leyes en el sentido negativo y eso es lo que significa que esta recta tenga una pendiente menos 2 bueno y ahorita podríamos preguntarnos oye y la función g como se ve pues la función g podría verse así lo importante es que la función g pasa por el punto menos 13 y la pendiente de su recta tangente es menos 2 y después la función g podríamos imaginarnos que hace cualquier cosa pero lo único que nos importa en este ejercicio es cuál es la ecuación de la recta tangente y bueno hay muchas formas en las que podemos hacer esto porque hay muchas formas de describir a una recta pero podemos escoger una por ejemplo podemos utilizar la forma que nos dice que ya es igual a m por x + b donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje del h ahora la pendiente ya sabemos exactamente cuánto es la pendiente es menos 2 entonces podemos decir que allí es igual a menos 2 por x + b y así ya nada más nos falta encontrar be pero nosotros sabemos que el punto menos 13 está en esta recta tangente y aquí vamos a utilizar algo que viste probablemente en álgebra uno hace algún tiempo pero aquí en esta ecuación para encontrar a b vamos a sustituir las coordenadas y x de este punto que pertenece a esta línea así es que cuando ya es igual a 3 está 3 tenemos que menos 2 por x que en este caso x es menos uno más b y ahora vamos a resolver esto menos 2 x menos 1 es 2 y entonces si restamos 2 de los dos lados nos queda que uno es igual a b y listo ya terminamos es la ecuación de esta línea de la recta tangente a g cuando x es igual a menos 1 que es igual a menos 2 x más 1 y bueno por supuesto que hay otras formas para resolver este ejercicio por ejemplo pudimos haber escrito la ecuación de la línea en forma de punto pendiente o en su forma estándar o como lo hicimos pero por lo menos esta vez así es como lo proceso mi cerebro