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Encontrar ecuaciones de rectas tangentes usando la definición formal de límite

Esta práctica estructurada te lleva a través de tres ejemplos sobre cómo encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto específico.
Podemos calcular la pendiente de una recta tangente usando la definición de la derivada de una función f en x, equals, c (siempre que ese límite exista):
limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, c, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, c, right parenthesis, divided by, h, end fraction
Una vez tenemos la pendiente, podemos encontrar la ecuación de la recta. En este artículo revisamos tres ejemplos.
Se grafica la función f. El eje x positivo incluye el valor c. La gráfica es una curva. La curva empieza en el cuadrante 2, se mueve hacia abajo hasta un punto en el cuadrante 1, se mueve hacia arriba, pasa por un punto en x = c y termina en el cuadrante 1. Una recta tangente empieza en el cuadrante 4, se mueve hacia arriba, toca la curva en el punto en x = c y termina en el cuadrante 1.

Ejemplo 1: encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared en x, equals, 3

Paso 1
¿Cuál es una expresión para la derivada de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared en x, equals, 3?
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

Paso 2
Evalúa el límite correcto del paso anterior.
f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis nos da la pendiente de la recta tangente. Para encontrar la ecuación completa, necesitamos un punto por el que pase la recta.
Por lo general, ese punto será aquel donde la tangente toca a la gráfica de f.
Paso 3
¿Qué punto debemos usar para la ecuación de la recta?
left parenthesis
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
comma
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

Paso 4
Completa la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared en x, equals, 3.
y, equals

¡Y ya terminamos! Al usar la definición de la derivada, fuimos capaces de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared en x, equals, 3.
Se grafica la función f. El eje x va de menos 12 a 12. La gráfica es una curva en forma de U. La curva empieza en el cuadrante 2, se mueve hacia abajo hasta (0, 0), se mueve hacia arriba a través de un punto en aproximadamente (3, 9) y termina en el cuadrante 1. Una recta tangente empieza en el cuadrante 4, se mueve hacia arriba, toca la curva en el punto y termina en el cuadrante 1.

Ejemplo 2: encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed en x, equals, minus, 1

Paso 1
g, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, question mark
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

Ejemplo 3: encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 3 en x, equals, minus, 5

Hagamos este sin todos los pasos.
¿Cuál es la ecuación de la recta tangente?

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