La definición formal de la derivada como un límite

nuestro primer contacto con el concepto de la pendiente de una línea normalmente ocurre a inicios de los cursos de álgebra y aquí vamos a recordar un poco de esto dibujamos nuestro eje este es nuestro eje de las 10 o debería decir nuestro eje de fx y ahora voy a dibujar mi eje de las x aquí está mi eje x y ahora voy a dibujar una línea más o menos así y lo que queremos hacer es acordarnos de cómo calcular la pendiente de una línea entonces como encontramos la pendiente y lo que hacemos es tomar dos puntos de esta misma línea vamos a poner aquí un punto en otro color y digamos que en el eje x va a tener el valor de a y en el eje y va a ser el valor cda y podemos decir que la función es la función de una línea por ejemplo que fx es igual a m por x + b no sabemos que son m y b pero bueno esta es una revisión de los conceptos así que aquí tenemos en x el valorada y en que tenemos que pasa con ese valor a cuando lo utilizamos en la función definida aquí y ahora tomamos otro punto en esta línea aquí es b en x y la coordenada de este punto aquí es y coma efe db ya que este es el punto donde evaluamos esta función en vez así que dibujamos una línea aquí para poner en eje y efe dv y para que quede más claro pongo que en este punto es la coordenada efe así que como encontramos la pendiente entre estos dos puntos o en general es la pendiente de toda esta línea ya que recordemos que la pendiente va a ser consistente en todo a lo largo de esta línea también recordamos que una vez que encontramos la pendiente pues va a ser la pendiente de toda esta línea recordamos es sólo una revisión sobre álgebra pero como lo hacemos y definimos la pendiente que es igual al crecimiento entre cuanto avanza y otra manera de escribirlo es el cambio en y entre el cambio en x ahora vamos a calcular cuál es el cambio en y cuál es el cambio en x al menos para este caso en particular así que el cambio en g es igual a qué bueno vamos a tomar las coordenadas de estos dos puntos al menos en la parte que corresponde allí tomando el que tiene una yema es grande en este caso debería ser ve el cambio entre estos dos puntos voy a dibujar este pequeño triángulo esto de aquí es el cambio en y también lo puedo proyectar en el eje y para que se vea que el cambio en cuál es esta distancia va a ser efe vm no se cede a lo escribimos efe db - efe dea y este es nuestro cambio en g así que efe db - efe aquí está nuestro cambio en y ahora cuál es nuestro cambio en x cambio en g / cambio en x cuál es el cambio x vamos a tomar este como nuestro primer punto ya que para calcular la diferencia en usamos este como el primer punto y así vamos a hacer consistentes así que la parte x de este punto menos la x de este otro punto en este caso va a ser de menos ve - ah y si tuviéramos la ecuación de esta función podríamos calcular esos puntos y entonces ya podríamos tener la pendiente para esta línea y así de directas como calculamos nuestra pendiente y para asegurarnos de que esto se entiende bien vamos a hacer un ejemplo concreto vamos a decir que este punto de aquí este que estoy señalando tiene las coordenadas 2 3 y este otro que esto es color en amarillo tiene las coordenadas 57 y ahora vamos a encontrar la pendiente de esta línea sustituyendo estos valores 7 menos 3 que es nuestro cambio en ya que es este 7 aquí es 3 y esto lo vamos a dividir en 35 menos 2 este es nuestro cambio mx y aquí está el 5 y aquí está el 2 y este es nuestro cambio 5 - 27 menos 3 64 entre 52 es 34 tercios esta va a ser la pendiente de esta línea que estamos especificando ahora veamos si podemos generalizar esto y este va a ser el nuevo concepto que vamos a aprender aquí como una forma de introducirnos al cálculo vamos a generalizar esto a alguna curva así que digamos que ahora tengo una curva y esta curva de hecho lo voy a dibujar aquí en junto para que puedan ver las similitudes entre ambas digamos que aquí tengo mis ejes y en estos ejes voy a dibujar una curva y digamos que esta curva es más o menos conocida que igual a x cuadrada que luce más o menos así y lo que quiero hacer es encontrar su pendiente en cualquier punto incluso antes de hablar de esto vamos a pensar en qué significa encontrar la pendiente de una curva en este primer ejemplo la pendiente fue la misma a todo lo largo de esta función de esta línea pero no la curva la pendiente va cambiando y para tener una idea de lo que esto significa la pendiente en este punto sería más o menos esto la tangente a este punto de la curva y la pendiente sería esto y en este otro punto la pendiente estaría así un poquito menos negativa que la pendiente anterior y de hecho bueno creo que voy a ponerle en otro color para que se note mejor la diferencia aquí la pendiente es un poco menos negativa en cambio aquí en este punto cero la pendiente de esta plana esta línea horizontal va a ser la pendiente en este punto cuando las funciones igual a cero y conforme vamos avanzando en esta curva la pendiente comienza a ser positiva y empieza a incrementarse aquí está aún nada pendiente y aquí está otra que tiene la pendiente todavía más grande y como pueden ver la pendiente está cambiando en todos los puntos de esta curva y esa es la diferencia entre la pendiente en una línea y en una curva en una línea la pendiente es constante y en una curva la pendiente va cambiando en cambio en una línea si toman dos puntos miren la diferencia en x y la diferencia en ye y divide en la diferencia y niek entre la diferencia en xy ya obtuvieron la pendiente de toda la línea y como vimos aquí en la pendiente en una curva cambia todo el tiempo si midiéramos la pendiente acá sería todavía aún más alta así que vamos a tratar de hacer un experimento y como ya sé cómo resulta este experimento no nos arriesgaremos demasiado así que bueno voy a dibujar algo aquí mi eje y que lo puedo dibujar mejor aquí está mi eje y aquí dibujo mi eje x x y aquí lo podemos llamar o fx de cualquier manera es lo mismo y aquí voy a dibujar mi curva vamos a dibujar además la parte positiva así y que está si yo quisiera encontrar la pendiente si yo quisiera encontrar la pendiente aquí con base a la definición de la pendiente necesitaríamos dos puntos aquí no sabemos cómo definir la pendiente con un solo punto vamos a llamar a este punto que acabo de dibujar x x para ponerlo en términos generales para definir la pendiente de acuerdo con nuestra definición básica de álgebra necesitamos dos puntos así que vamos a encontrar otro punto aquí vamos a ponerlo en otro color vamos a tomar un punto un poquito más grande que x que bueno yo creo que vamos a poner un poquito más alejados y no va a estar todo muy atiborrado digamos que tengo este punto de aquí y que este punto es más grande que x y es más grande por una cantidad h vamos a escribir aquí x más h y eso es lo que es este punto y cuáles serán sus valores correspondientes en el eje y bueno esta es la curva de igual a fx este punto de aquí va a ser f de x de nuestra particular x de acá que bueno para hacerlo más claro esta x particular la voy a llamar x de 0 esta de acá va a ser x 0 + h por lo tanto en el eje 10 será fx de cero y la coordenada de este otro punto estará más o menos por acá y le corresponde en el eje h el punto f de x 0 h y ahora cuál será la pendiente entre estos dos puntos que están relativamente cercanos recuerden que no va a ser la pendiente solo en este punto va a ser la pendiente de la línea que une estos dos puntos y si yo la fuera a dibujar se vería más o menos así una línea que intersecta la curva tanto en este punto como en este otro punto vamos a dibujar un poquito más claro aquí sería más o menos así como la interfecta en este punto con nuestra coordenada x 0 fd x 0 y aquí arriba que sería nuestra coordenada x de 0 + h xy 0 + h coma efe de x 0 + h así que cualquiera que sea esta función la estamos evaluando en estas coordenadas y aquí tenemos estos dos puntos una buena forma de comenzar es encontrar la pendiente de esta línea secante y como hicimos en el ejemplo anterior tenemos que encontrar el cambio mx y el cambio pero este es el cambio en g la vertical y dividirla entre nuestro cambio en x que es la horizontal aquí está de nuevo el cambio y el cambio en x la pendiente de esta línea secante va a ser igual a este punto de aquí que parece ser un poco más grande así que nuestro cambio en y que es este punto de aquí va a ser efe de x 0 más h y es este punto de que aunque podría parecer algo más sofisticado pero realmente lo que es es este punto evaluado en el eje y de la función n ese valor de x y esto va a ser entonces el cambio de g efe x 0 + h la coordenada de esto menos la coordenada n del punto x en esta parte de aquí va a ser efe x 0 y este es nuestro cambio en g esto es nuestro cambio en g y la dividimos entre el cambio en x cuál es el cambio en x bueno tomamos el valor más grande de x que es el de este punto aquí x 0 + h - la coordenada xx que es x 0 x 0 así que esto es un cambio de eje entre cambio de x pero bueno esta es la pendiente de la línea secante pero todavía no encontramos cuál es la pendiente justo en este punto pero sin duda esto nos va a ayudar a llegar a esa respuesta vamos a simplificar esto así que voy a escribir aquí la pendiente de la línea secante de la línea secante es igual a el valor de la función en este punto efe x 0 + h menos el valor de la función aquí efe de x0 que esto es el cambio en el eje ye y es exactamente la misma definición de pendiente que vimos al principio entre el cambio en x que es esta parte x 0 y aquí tenemos menos x0 estos dos se cancelan y nos queda solamente h así que esto es igual a nuestro cambio en g entre el cambio en x muy bien pero quedamos que queremos encontrar la pendiente en este punto de la curva y que es lo que puedo hacer bueno yo definí que este otro punto de acá era el primer punto más una distancia h esta h y tenemos algo en nuestra caja de herramientas que se llama límite ya que está h es un número en general podría ser un 10 12 un número pequeño totalmente arbitrario así que qué pasaría al menos en teoría si yo comienzo a hacer esta h cada vez más pequeña si yo tomara el límite conforme h se aproxima a cero imaginemos que al principio hs este número grande de aquí y si voy reduciendo h más o menos por acá está pendiente va a ser diferente y si sigo siendo más pequeña h me voy a ir acercando la pendiente de este punto si así fuera tremendamente chiquitito estaríamos casi encontrando la pendiente en el punto de interés por supuesto que si esta h es muy grande mi línea secante va a estar muy lejana en comparación de la pendiente que me interesa en este punto pero si está h fuera un número infinitamente pequeño entonces me quedaría bastante a la pendiente que me interesa así que qué pasa si yo tomo el límite de esto conforme h se aproxima a cero el límite cuando h tiende a cero la pendiente de mi secante efe de x 0 + h - efe x 0 / h que es mi cambio es en x que es h a veces en lugar de la h se escribe delta x así que en lugar del límite cuando h tiene 0 sería cuando delta x tiende a cero y aquí bueno sustituimos las h por delta equis y quedaría exactamente lo mismo no importa si es h o delta x lo que estamos usando es la diferencia entre un punto equis y el punto x mayor y si tomamos el límite de esto cuando se aproxima a cero encontraremos esta delta equis y ahora voy a llamar a esto que es igual a la pendiente de mi línea tangente a mi punto de interés esto es igual a la pendiente de la línea tangente en un punto de esta curva esto lo voy a llamar la derivada de f derivada efe y voy a decir que esto es igual efe prima de equis y esta va a ser otra función recordemos que la pendiente cambia en cada valor de x no importa qué valor de xl g amos la pendiente va a ser diferente así que si ustedes me dan un valor x yo lo pongo en esta nueva función aplico esta fórmula y les podré decir cuál es la pendiente en ese punto de x y en el siguiente vídeo realizaremos un ejemplo concreto para que todo esto quede bastante más claro