La derivada de x² en x=3 por medio de la definición formal

en el vídeo anterior tratamos de encontrar la pendiente en un punto o la pendiente de una curva en un punto en particular y la forma en la que lo hicimos fue tomar ese punto en la curva y elegir otro punto que no estuviera muy alejado de este y dibujar una línea secante que unirá ambos puntos y encontrar la pendiente de esa línea secante así que este es nuestro cambio en ya que se divide entre el cambio en x en este caso h es la diferencia en distancia de el valor en x de mi punto de interés y del punto que no está muy alejado de mi punto de interés y posteriormente lo que dijimos fue bueno porque no tomamos el límite un conforme h se aproxima a 0 conforme se reduce esta distancia entre estos dos puntos y por lo tanto esta línea va a tener la pendiente que me interesa en este punto de la función a esta función le llamamos la derivada de f o igual a efe prima de x y ahora vamos a ver si podemos aplicar esta fórmula con un ejemplo concreto para qué quede más claro este concepto cómo vamos a hacer un caso particular permítanme dibujar una función en concreto vamos a dibujar nuestro eje de las yes mejor aquí no quedó más bonito dibujo mi eje de las x y vamos a decir que mi función es esta curva de aquí esta es la curva x cuadrada este es mi eje y mi eje x y quiero conocer la pendiente del punto cuando x es igual a 3 y cuando me refiero a la pendiente ustedes pueden imaginarse una línea tangente qué pasa justamente en este punto lo voy a dibujar en amarillo en donde apenas está rozando la curva en este punto esta va a ser la pendiente y quiero encontrar cuál es para hacerlo voy a utilizar la misma técnica que hicimos la vez pasada y lo vamos a generalizar para que esto no tengan que ustedes hacer para cada número así que vamos a tomar otro punto por acá vamos a tomar el punto en el que si éste es 3 va a ser 3 + delta x el punto que voy a tomar una diferencia en x aquí también la anotación porque en algunos libros se van a encontrar una h y en otros libros se van a encontrar la delta x y no nos hace daño conocer ambos términos lo primero que tengo que ver es cuál es este punto de aquí cuáles son sus coordenadas es igual a x al cuadrado x en este caso es 3 por lo que ya va a ser 3 al cuadrado 3 x 39 esta parte este valor en que es 9 y con este otro punto vamos a ver cuál es su valor en ya tengo aquí mi 3 + delta x es la función y el valor correspondiente en g si es igual a equis cuadrada entonces el valor en lleva a ser tres más delta x al cuadrado muy bien entonces tengo aquí este punto en la curva y vamos a proyectar este valor en el eje g y quedamos que este valor es 3 + delta x al cuadrado y ahora vamos a calcular la pendiente de esta línea secante con estos dos puntos esta que estoy dibujando aquí y vamos a ampliarlo para que se note mejor estoy ampliando nada más esta parte de la función de la curva aquí estoy poniendo en mi punto de interés aquí está el otro punto y aquí está mi línea secante línea secante y secante y queremos que en este punto sus coordenadas son 39 y en el punto de aquí arriba sus coordenadas son 3 + delta de x que es el valor en x coma 3 + delta x al cuadrado pero vamos a poner el valor desarrollado ustedes pueden hacer la misma operación es el cuadrado de a más 2 por a por ve más el cuadrado de ver y si lo sustituimos sería 9 más 2 por 36 por delta x 6 por delta x más delta x al cuadrado y todo esto es la coordenada de este segundo punto este es el valor de x y todo esto que acaba de desarrollar es el valor en ye así que la pendiente de esta línea la pendiente de esta secante va a ser el cambio en g dividido entre el cambio en x el cambio en y es igual a el valor en y de este punto menos el valor en llegue este otro punto es 9 + 6 delta x + delta x al cuadrado todo esto está coordenada en este punto menos la coordenada de este otro punto que es el 9 menos 9 es nuestro cambio en jeff y lo vamos a dividir entre nuestro cambio en x nuestro cambio en x va a ser el valor de x de este primer punto comenzamos con el mismo punto que usamos arriba para ser consistentes 3 + delta equis y esto le restamos el valor en x de este otro punto que es 3 - 3 vamos a simplificar esto en el numerador cancelamos este 9 con este menos 9 y en el denominador cancelamos este 3 con el menos 3 así que nuestro cambio en x de hecho termina siendo el delta x lo cual tiene sentido pues finalmente esto es el cambio la diferencia entre estos dos puntos en el eje x finalmente la pendiente de esta línea secante se simplifica como 6 por delta x delta x al cuadrado entre mi cambio en x vamos simplificar esto aún más dividimos el numerador entre nuestro cambio en x vamos a cambiar de color para que sea más fácil de ver esto en pantalla la pendiente de mi línea secante va a ser igual a dividimos numerador entre denominador esto queda 6 más delta x al cuadrado entre delta x me queda delta x y mi pendiente queda como 6 más el cambio en x vamos a escribirlo aquí arriba y nuestra pendiente es igual a 6 + delta x la pendiente de esta línea de acá si esta delta x fuera igual a 1 estos valores en x serían 3 y 4 por lo tanto mi pendiente sería 6 más el valor de delta x que es 16 más 17 mi pendiente sería igual a 7 recuerden que encontramos una fórmula general para encontrar la pendiente de esta línea secante ahora lo que queremos hacer es encontrar la pendiente de este puntito de aquí exactamente en este punto y ahora vamos a ver qué sucede cuando yo tomo el límite cuando está delta x tiende a cero es decir que esta diferencia en x se va reduciendo por ejemplo si estuviera aquí esta línea secante pasaría por acá y fuera todavía más chica estaría más o menos aquí mucho más cerca de nuestro punto se convertiría en una línea tangente que es la línea tangente que estamos buscando para obtener su pendiente el límite desde el está x cuando tiende a 0 de la pendiente de nuestra línea secante que es 6 + delta x podemos decir que esto es igual a 6 así que la pendiente de nuestra línea tangente en el punto de interés en este punto de aquí es igual a 6 otra forma de escribir esto es que fx es igual a equis cuadrada qué es la pendiente de la línea tangente de esta función efe prima en 3 estoy hablando en el punto 3 va a ser igual a 6 no he llegado a una fórmula general para encontrar la pendiente en cualquier punto de esta curva pero eso lo vamos a hacer en el siguiente vídeo