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Transcripción del video

la forma alterna de la derivada de la función f en un número ha denotado por efe prima de a está dado por esta expresión y que está dado por un límite verdad entonces la derivada en el punto a es el límite cuando x tiende a de la función f de bueno de la función evaluada en x menos la función evaluada en a todo eso entre x menos a y esto es por supuesto suponiendo que el límite existe más o menos en un dibujito digamos si aquí tengo mis ejes y bueno voy a intentar dibujarlo un poquito mejor si ahí tengo yo mis ejes este es el eje x el eje i y por aquí tengo una función f esto es efe de x muy bien entonces si yo tengo digamos vamos a poner por aquí vamos a poner con rojo el punto coma de fedea aquí está así que este punto de aquí es el a efe muy bien y ahora nos tomamos un x cualquiera digamos que ande por aquí l x aquí anda x más o menos queremos dar la interpretación de esto aunque entonces si nos tomamos ese x aquí tenemos el punto x coma fx muy bien entonces lo que nos está diciendo este límite esencialmente es nos está calculando la pendiente verdad este numerador de aquí bueno aquí está por ejemplo este es fx y este es x que corresponden al punto verde lo que corresponde al punto rojo es esto ahora si nosotros queremos interpretar esta diferencia que desde el numerador pues esencialmente me está diciendo si a fx le restó de fedea es más o menos esta altura a esta altura muy bien es esencialmente el cambio en la dirección vertical ahora la parte de acá abajo la parte de acá abajo es x menos a entonces es esta distancia le quitamos esta pequeña y lo que nos queda es simplemente el cambio en la dirección x o en la dirección horizontal y esto no es otra cosa más que la pendiente es la pendiente de que de la recta que une estos dos puntos muy bien ahí tenemos la recta que une esos dos puntos y esta me calcula la pendiente ahora si x tiende a lo que estamos haciendo es que este x se aproxime cada vez más muy bien entonces lo que al final nos va a quedar es la pendiente de la recta tangente en este punto muy bien entonces ahora dice el problema con la ayuda de la forma alterna de la derivada darle sentido al siguiente límite identificando la función f y el número muy bien entonces me está diciendo que la derivada en 5 es igual al límite cuando extiende a 5 de x al cubo menos 125 entre x menos 5 y simplemente hay que identificar con lo que tenemos acá arriba por ejemplo aquí me dice que el punto donde está calculando la derivada en este caso va a ser 5 y de hecho el 5 está r a correspondía al color rojo entonces vamos a poner este con rojo muy bien y de hecho también podemos ver que fedea o bueno primero veamos quiénes fx y fx me dice que es x al cubo esto es x al cubo la función entonces inmediatamente podemos decir que la función es x al cubo y verificamos que 125 aquí estamos restando la función evaluada en la que en este caso es 5 entonces efe de 5 en efecto va a ser 5 al cubo que es 125 todo coincide muy bien aquí está por ejemplo la equis aquí está a que 5 ya tenemos resuelto este detalle muy bien entonces la derivada de la función es la derivada de la función f x y la función es x al cubo y el punto en el cual estamos evaluando es en 5 muy bien ahora solo para que quede todavía más claro vamos a hacer un dibujo de que estamos haciendo digamos que aquí tenemos nuestros ejes aunque no lo voy a hacer escala porque ésta es una función bastante complicada porque aquí en 125 aquí en 125 es el valor que toma en 5 por ejemplo si aquí ponemos 5 que claramente ya no está en la misma escala pues entonces el punto el punto por donde pasa la función y está digamos más o menos por aquí muy bien y como se ve la función x al cubo pues más o menos se ve como algo que pasa por aquí de forma tan gente que quizás vamos a dibujarlo no tan pronunciado más o menos así y sube y luego de aquí va complicado más o menos así se ve la función x al cubo esto es igual a x al cubo aquí por supuesto en este punto rojo de arriba este es el punto 5 coma lo que vale la función en 5 que son 125 muy bien y ahora si nosotros nos tomamos cualquier punto x digamos este punto x de aquí y consideramos el punto sobre la gráfica es decir x coma x al cubo entonces lo que está haciendo este cociente es simplemente calcular la pendiente de la recta secante es decir la que pasa por estos dos puntos más o menos algo así más o menos y ahora si nosotros queremos aproximar x cuando cuando se va pareciendo cada vez más a 5 entonces la pendiente de la recta tangente se va pareciendo cada vez más a la pendiente pero la pendiente de la recta african t se parece cada vez más a la pendiente de la recta tangente así que en el límite la recta tangente se va a ver más o menos algo así como la que pinte en morado
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