Ejemplo resuelto: la derivada como un límite

digamos que nuestra función en este caso es f x igual al logaritmo natural de x y en este caso lo que vamos a querer es calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica justo cuando x es igual a e es decir queremos calcular la derivada justo en nuestro punto y muy bien y queremos saber cuánto vale esto entonces lo que vamos a hacer es calcular la pendiente justo cuando aquí vale subimos a la gráfica vemos cómo se comporta la la recta tangente y ver cuál es su pendiente entonces vamos a hacer vamos a utilizar la forma digamos o la definición formal de lo que es la derivada y después vamos a utilizar en este caso la definición alterna para la formal vamos a tomarnos digamos un x cualquiera por aquí no sé el que sea muy bien entonces nos vamos directo a la gráfica y aquí tengo el punto x coma f x muy bien donde f es el logaritmo natural ahora vámonos con qué pasa si tenemos un x + h digamos que aquí tenemos x + h entonces nos vamos directo a la gráfica también y tenemos aquí el punto x + h coma efe de x + h muy bien ahí tenemos este punto y si nosotros queremos calcular la pendiente de la recta que conecta estos dos puntos entonces estamos pensando en una recta secante muy bien y bueno vamos a calcular esa pendiente ok entonces para calcularlo vemos el cambio en la componente vertical que en este caso sería efe de x + h menos de equis y todo esto va dividido entre el cambio en la componente horizontal que sería x + h menos x que si nos damos cuenta eso simplemente es h verdad x + h le restó x pues sólo nos queda h muy bien ahora el punto el punto central de todo esto es hacer que esté x + h se vaya apareciendo cada vez más a x es decir vayamos moviéndonos hacia la izquierda en este caso es decir que la h sea cada vez más chiquita muy bien de esa forma nosotros podríamos aproximar muy bien lo que es la pendiente de la recta tangente justo en el punto x entonces lo que necesitamos es calcular el límite voy a ponerlo con color blanco el límite cuando h tiende a cero de esta expresión y cuando h se hace cero pues x + h se va apareciendo muchísimo a la x muy bien entonces está justamente es la definición formal de lo que es la derivada de la función f en él x ahora bien a nosotros no nos interesa en todos los puntos nos interesa justamente para cuando x es igual a que el número es ok entonces vamos a calcularlo tenemos que calcular f prima en el punto en cuando x vale y esto es igual a quien esto es igual por esta definición de arriba al límite cuando h tiende a cero de nuestra función f evaluada en x + h que en este caso es el logaritmo natural de ahorita pongo que bueno desde y más h muy bien menos el logaritmo natural de donde quiero evaluar que en este caso es que todo esto entre h entonces sustituimos en vez de x ponemos y aquí ponemos el e y ya quedó verdad entonces esto es lo que nos da la pendiente de la recta tangente en esencialmente esta expresión de aquí arriba es una función medio loca de x verdad está medio loca porque tiene un límite y estamos evaluando en cosas medio raras pero bueno esta es la definición de la derivada como función de x ahora si nos interesa en el punto en particular que digamos no nos interesa la derivada en todos lados sino en un punto muy particular entonces podemos utilizar la definición alterna nos tomamos un equis por aquí digamos nos tomamos este punto de aquí que es el x fx muy bien que de hecho lo voy a poner de una vez fx es el logaritmo natural de x este es ese punto y ahora calculamos la pendiente de esta recta secante como es pues es el incremento en la en la componente llego en la componente vertical y eso es el logaritmo natural de x menos 1 que es este punto de aquí todo esto entre la diferencia en la componente horizontal que es x menos x menos e muy bien y ahora lo que yo quiero es hacer que esta x se aproxime a él entonces le calculo el límite cuando x tiende a nuestro número de esta expresión y esta ésta es justamente la definición alterna de la derivada pero en el punto y muy bien entonces puedes hacerlo con la definición formal que aquí está que aquí está hecho aunque esto es aplicando la definición formal o bien puedes calcular la derivada utilizando la definición alterna en cualquiera de los dos casos estamos haciendo exactamente lo mismo