Diferenciabilidad en un punto: forma algebraica (la función es diferenciable)

la siguiente función es continua diferenciable en x 3 y aquí nos dan una función definida por partes y algunas opciones que tenemos que escoger continua pero no diferenciables diferenciable pero no continua ambas continua y diferenciable o ninguna ni continua ni diferenciable ahora de todas estas opciones ya podemos tachar una porque para que una función sea diferenciable tiene que ser continua entonces desde ahorita ya podemos decir que esta opción no puede suceder y ahora pensemos en la continuidad de esta función pensemos si la función es continua para empezar como acabamos de decir si una función no es continua no es diferenciable pero vamos a empezar viendo si esta función es continua así es que pensemos un poquito al respecto efe sea continua en 3 efe de 3 tiene que ser igual al límite cuando x tiende a 3 d efe de x ahora cuánto es efe de 3 bueno pues efe de 3 está definido en este caso cuando x es igual a 3 fx es 6 x menos nueve o sea 6 por 3 18 menos 99 así es que f de 3 es 9 entonces el límite cuando x tiende a 3 de fx tiene que ser igual a 9 para que la función sea continua empecemos pensando en el límite cuando x tiende a 3 por la izquierda el límite cuando x tiende a 3 por la izquierda de x si x tiende a 3 por la izquierda estamos tomando valores de x menores que 3 y estos caen en este caso y en este caso fx es igual a x al cuadrado entonces tenemos aquí x al cuadrado fx y esto está definido y es continuo en todos los reales entonces podemos simplemente sustituir el 3 aquí y nos queda igual a 9 pero ahora cuál es el límite cuando x tiende a 3 por la derecha límite cuando x tiende a 3 por la derecha de f de x bueno pues cuando x tiende a 3 por la derecha que estamos tomando valores de x mayores a 3 y entonces caemos en este caso o sea que fx es igual a 6 x menos 9 x menos 9 y sucede lo mismo por aquí 6 x 9 está definida y es continua para todos los números reales entonces podemos aquí simplemente sustituir al 3 y nos queda 18 menos 9 que es 9 así es que tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha de la función f x son iguales a 9 y 9 es el valor de la función en 3 por lo que podemos decir que f es continua en x igual a 3 efe definitivamente es continua así es que ya podemos tachar esta opción porque si es una función continua y ahora nos quedan estas dos opciones por lo que tenemos que pensar en la diferencia habilidad ahora para que una función sea diferenciable diferenciable tiene que existir el límite cuando x tiende a 3 de fx menos f de 3 / x menos 3 así es que veamos si podemos encontrar este límite para empezar ya sabemos cuánto es efe de 3 sabemos que es igual a 9 y ahora lo que vamos a hacer es encontrar el límite por la izquierda y el límite por la derecha y si ambos límites coinciden entonces esa cosa a la que coinciden es el límite cuando x tiende a 3 empecemos por el límite cuando x tiende a 3 por la izquierda estamos dividiendo entre x menos 3 y en el numerador tenemos efe de x menos 9 pero ahora como estamos aproximando a 3 por la izquierda todos los valores de x son menores que 3 y por lo tanto fx para esos valores es x al cuadrado si es que por acá tenemos x al cuadrado menos 90 x al cuadrado menos 9 es una diferencia de cuadrados por lo que lo podemos reescribir de esta forma como x + 3 x menos 3 y ahora estos dos se cancelan siempre y cuando x no sea igual a 3 pero como estamos aproximando a x por la izquierda x nunca va a ser igual a 3 en este límite así es que si los podemos cancelar y nos queda simplemente x + 3 0 x 3 es continua para todos los números reales entonces aquí simplemente podemos sustituir al 3 y esto nos queda igual a 6 bueno ahora tenemos que encontrar el límite cuando x tiende a 3 por la derecha y entonces en el denominador tenemos x menos 3 y en el numerador efe de x menos 9 pero como estamos aproximando a 3 por la derecha estamos en este caso y fx es 6 x menos 9 6 x menos 9 sf y nos falta restar menos 9 que es efe de 3 porque tenemos fx - efe de 3 entonces aquí tenemos 6x menos 18 menos 18 pero esto es igual a 6 por x 3 y conforme nos aproximamos a 3 por la derecha esto es igual a 6 así es que como estos dos límites son iguales si existe este límite y es igual a 6 o sea que si existe la derivada de la función f en 3 y su valor es 6 el límite cuando x tiende a 3 de todo esto es igual a 6 porque el límite de esto cuando x tiende a 3 por la izquierda y cuando tiende por la derecha son iguales a 6 lo que esto nos dice es que f ambas continua y diferenciable