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Contenido principal
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Transcripción del video

la siguiente función es continua diferenciable en x igual a 1 y tenemos aquí la función g definida por partes y luego varias opciones es continua pero no diferenciables es diferenciable pero no continua es ambas continua y diferenciable o es ninguna ni es continua ni es diferenciable y como siempre pone pausa este vídeo e intenta averiguarlo por tu cuenta primero vamos a ver si la función g es continua continua ahora para que la función g sea continua en x igual a 1 lo que necesitamos es que g de 1 sea igual al límite cuando x tiende a 1 deje de x entonces empecemos averiguando cuánto es gd 1 y g de 1 caemos en este caso de 1 es uno menos uno al cuadrado o sea que g de uno es cero así es que si encontramos que el límite cuando x tiende a 1 deje de x es igual a cero entonces la función g es continua por lo que vamos a calcular el límite cuando x tiende a 1 y vamos a empezar calculando el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda y por la derecha empezamos por aquí con el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda y bueno quedaron bastante bien divididos estos dos casos porque cuando estemos tomando el límite por la izquierda todas las x como van a ser menores que 1 van a pertenecer a este acaso y cuando estemos tomando el límite por la derecha todas las equis que van a ser mayores que 1 van a pertenecer a este caso así es que estamos tomando el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de g de x ahora justo es el límite por la izquierda entonces todas las x de este límite son menores que 1 así es que pertenecen a este caso y gtx en este caso es igual a x menos 1 así es que por acá podemos poner directamente x menos 1 porque conforme la x se acerca al 1 por la izquierda como se está acercando por la izquierda los valores de x son menores que 1 entonces gdx para estos valores de x es x menos 1 pero ahora esta expresión de aquí es continua para todos los números reales y como es continua aquí en este límite podemos simplemente sustituir el 1 por la equis y nos queda uno menos uno igual a cero que es el valor de g de uno así es que por el momento vamos muy bien pero nos falta encontrar el límite cuando x tiende a 1 por la derecha de g de x ahora como x tiende a 1 por la derecha estás x son mayores que 1 por lo tanto queremos en este caso y aquí gx es igual a x menos 1 al cuadrado así es que podemos poner por acá g de x es x 1 al cuadrado pero ahora otra vez esta es una función que está definida en todos los números reales y es continua en todos los números reales así es que es un límite es equivalente a sustituir el 1 por acá y entonces nos queda uno menos uno al cuadrado o sea cero y ahora como tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha son iguales a cero entonces el límite cuando x tiende a 1 deje de x es igual a 0 que es justo el valor que toma g en 1 por lo tanto si es una función continua así es que podemos buscar en estas opciones y eliminar todas las que dicen que no es una función continua así es que podemos tachar esta y también podemos tachar esta otra y bueno ahora podemos ponernos a pensar en si g es diferenciable ahora que necesitamos que sea cierto para que sea una función diferenciable bueno pues necesitamos que el siguiente límite sea un límite definido necesitamos que el límite cuando x tiende a 1 deje de x menos g de uno entre x menos 1 necesitamos que este límite esté definido y para ver si es un límite definido tenemos que evaluar al límite por la izquierda y el límite por la derecha y ver si son iguales pero aquí podemos simplificarlo un poco porque ya sabemos que g de 1 es igual a 0 entonces no nos tenemos que preocupar por esto así es que vamos a ver si podemos encontrar el límite cuando x tiende a uno deje x entre x menos uno vamos a empezar encontrando el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda gx / x1 ya que iba head x ahora como nos estamos aproximando a uno por la izquierda todos los valores de x son menores que 1 por lo tanto gx es igual a x menos 1 entonces podemos sustituir esto por acá y es lo que vamos a hacer ahorita poner por aquí x menos 1 ahora x menos 1 / x menos 1 esto es igual a 1 siempre y cuando x no tome el valor 1 pero aquí en este límite ninguna x es igual a 1 así es que esto es igual a 1 bueno y ahora vamos con el límite cuando x tiende a 1 por la derecha de gx entre x menos 1 y cuánto es gd x bueno como estamos aproximando a 1 por la derecha todas las x que estamos considerando en este límite son mayores que 1 por lo tanto estamos en este caso y en este caso x es igual a x1 al cuadrado así es que podemos sustituir por acá g de x por x menos 1 al cuadrado ahora como aquí estamos tomando nada más el límite cuando x tiende a 1 no estamos evaluando en 1 entonces esto se puede simplificar y nos queda simplemente x menos 1 que nos queda simplemente x menos 1 para todas las x distintas de 1 la expresión que teníamos es igual a x menos 1 entonces como estamos sacando el límite tenemos aquí nada más x menos 10 esta función está definida y es continua en todos los reales así es que podemos simplemente sustituir el 1 y nos queda uno menos uno igual a cero y observa el límite por la izquierda es distinto del límite por la derecha de este límite que es la definición de la derivada de g en uno y eso significa que este límite no existe y por lo no es diferenciable en uno porque observa cuando nos aproximamos por la izquierda estamos en este caso la función se ve más o menos así tiene una pendiente de 1 pero cuando x llega a 1 la función g está definida de esta forma y su gráfica se ve más o menos así pero cuando x es igual a 1 la pendiente de este lado es 0 así es que la gráfica es continua definitivamente es continua pero la derivada no porque la pendiente cuando nos acercamos por la izquierda es 1 pero la pendiente cuando nos acercamos por la derecha es 0 así es que justo en este punto x igual a 1 la función no es diferenciable así es que la función g es una función continua pero no diferenciables
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