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Contenido principal
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Transcripción del video

como hemos visto en vídeos anteriores la derivada con respecto de x de el logaritmo natural de x es igual a 1 entre x y lo que quiero que hagamos en este vídeo es utilizar esto que sabemos para encontrar la derivada con respecto de x de el logaritmo de x pero de cualquier base y para poder hablar de eso vamos a llamarle logaritmo base a de x donde a es una base arbitraria puede ser cualquier base y como vamos a encontrar esta derivada bueno pues la clave aquí es algo con lo que seguramente ya estás familiarizado de tus clases de álgebra o pre cálculo la clave aquí es hacer un cambio de base porque por ejemplo vamos a hacerlo por acá si tenemos el logaritmo base a debe y lo quiero cambiar a otra base digamos que lo quiero cambiar a la base c esto es igual a logaritmo base c dv / logaritmo base de a tomamos el logaritmo base se debe entre el logaritmo base de a y esto que tenemos aquí es muy útil si no lo habías visto antes lo demostramos en otro vídeo aquí mismo en khan academy ahora esto es muy muy útil porque por ejemplo tu calculadora tiene un botón que dice 'lo pero ese botón lo que hace es sacar el logaritmo base de 10 por ejemplo si tienes 100 en tu calculadora y aprieta el botón log lo que te da es un 2 porque estás sacando el logaritmo base de 10 de 100 siempre que veas lo de 100 implícitamente es logaritmo base de 10 pero en la calculadora seguro también te vas a encontrar con el logaritmo natural el logaritmo natural de x es igual a logaritmo base de x ahora nosotros no siempre queremos sacar estos dos tipos de logaritmos nos gustaría poder sacar cualquier tipo de logaritmo y esta es la forma como lo hacemos por ejemplo si quisiéramos sacar el logaritmo base 3 de 8 lo que tenemos que hacer es sacar el logaritmo base de 10 de 8 y dividirlo entre el logaritmo base 10 de 3 y aquí estos logaritmos implícitamente son base 10 claro que tenemos el mismo resultado si sacamos el logaritmo natural de 8 y lo dividimos entre el logaritmo natural de 3 y este botón de logaritmo natural seguramente también lo tienes en tu calculadora y lo que vamos a hacer en este vídeo es aprovechar al máximo el logaritmo natural porque ya sabemos cuál es su derivada entonces esta derivada se puede escribir como la derivada con respecto de x de logaritmo natural de x logaritmo natural de x / logaritmo natural de a logaritmo natural de a pero espera el logaritmo natural de a es una constante entonces esto lo podemos reescribir de esta forma como 1 / logaritmo natural de a por logaritmo natural de x y cuál es la derivada de esto bueno pues esta constante podemos simplemente sacarla y nos queda 1 / logaritmo natural de a la derivada con respecto de x de logaritmo natural de x que nosotros ya sabemos que es igual a 1 entre x así es que este término de aquí ya sabemos que es 1 / x y entonces lo que nos queda es uno entre el logaritmo natural de a por uno entre x o sea 1 entre logaritmo natural de a x y es bastante útil saber esto ahora podemos sacar todo tipo de derivadas por ejemplo si ahora yo te dijera que f de x es igual a logaritmo base 7 de x ahora ya sabemos que f prima de x es igual a 1 entre el logaritmo natural de 7 por equis y por otro lado si dijéramos por ejemplo kg de x es igual a menos tres por el logaritmo base que va se lo vamos a poner pongámosle base pi oye pi es un número digamos que gx es menos 3 por logaritmo base pi de x entonces cuál es la derivada de g de x pues esto sería igual a 1 entre a no espera me equivoqué tenemos menos 3 este es el -3 de por acá y luego tenemos que dividir entre el logaritmo natural de pi o sea el logaritmo natural de la base logaritmo natural de pi por equis y listo ya terminamos ojalá ya tengas una muy buena idea de cómo se hacen todas estas cosas
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