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Transcripción del video

o sea fx igual a un medio de x al cubo más 13 x menos cuatro y sea h la inversa de la función efe observa que f de menos 2 es menos 14 y lo que nos piden es que encontremos h prima en menos 14 si no estás muy familiarizado con cómo se relacionan las derivadas de las funciones inversas con esas funciones esto puede sonar como algo muy complicado porque no es tan sencillo encontrar la función inversa de un polinomio de grado 3 pero aquí hay un truco muy bueno en realidad de lo que te tienes que dar cuenta en este ejercicio es que el hecho de que h y f sean funciones inversas hace que h prima de x sea igual a 1 entre efe prima de h de x entonces podemos utilizar esto para encontrar cuánto es h prima de menos 14 ahora me imagino lo que tú estás pensando en estos momentos porque es lo que yo pensaría si alguien de repente sacará una fórmula como estas de la nada esto de dónde sale bueno pues esto sale directamente de la regla de la cadena por la regla de la cadena sabemos que si tenemos una función f evaluada en su función inversa ok vih son funciones inversas sabemos que esto es igual a equis también podríamos poner h de fx y también nos quedaría x recuerda si f y h son inversas h va a mandar a la equis a algún valor llamado hdx pero como f y h son inversas entonces efe si le evaluamos en ese valor hdx va a regresar a ese valor otra vez a equis y viceversa eso es lo que significa que dos funciones sean inversas esto de aquí es cierto porque f y h son funciones inversas pero ahora si tomamos la derivada de estos dos términos si tomamos la derivada con respecto a x de estos términos me imagino que ya tienes una muy buena idea de que estamos haciendo aquí vamos a obtener una versión de esta fórmula para realizar esta derivada tenemos que usar la regla de la cadena y obtenemos f prima f prima evaluada en hd x h de x por la derivada de hd x o sea h prima de x tiene que ser igual a la derivada con respecto de x de x entonces de este lado nos va a quedar simplemente un 1 y ahora nada más tenemos que dividir ambos lados / efe prima de hd x y obtenemos la fórmula de acá pero bueno ya que vimos de donde salió esta fórmula vamos a aplicarla lo que queremos encontrar en este ejercicio es h prima de menos 14 por lo que tenemos aquí nosotros sabemos que h prima de menos 14 es igual a 1 / efe prima de hd menos 14 h de menos 14 y ahora podemos preguntarnos si en la información que nos dieron viene cuánto es hd menos 14 y claro que si nos dieron esa información no explícitamente pero por aquí está la respuesta a nosotros no se nos debe de olvidar que f y h son funciones inversas entonces si efe - 2 es menos 14 f está mandando menos 2 a menos 14 y como h es la inversa tiene que mandar menos 14 a menos 2 si a h le damos el valor menos 14 nos tiene que dar menos 2 y esto es porque h y f son funciones inversas hd menos 14 tiene que ser menos 2 si tenemos una función inversa lo que hace es intercambiar estos dos valores del lugar si f va de menos 2 a menos 14 h tiene que ir de menos 14 a menos 2 simplemente los voltea bueno y ahora queremos encontrar cuánto es f prima en menos 2 y para eso tenemos que encontrar a efe prima si es que f prima de x es igual a aquí vamos a tener que usar la regla de las potencias tenemos un medio por x a la 3 así es que tomamos el exponente multiplicamos por el coeficiente y nos queda 3 medios por x a la 3 - 1 o sea x a la 2 más la derivada de 3x lo cual es simplemente 3 y esto lo podemos ver sencillamente como la regla de las potencias también aquí está x implícitamente está elevada a la potencia 1 y entonces nos queda uno por 3 por equis elevada a la 11 o sea x a la 0 pero x a la cero es 1 así es que nos queda 3 por 13 y luego la derivada de una constante es simplemente cero entonces ya tenemos efe prima de x por lo que podemos encontrar fácilmente f prima de menos 2 esto es igual a tres medios por menos 2 al cuadrado que es simplemente 4 3 34 entre dos es 2 y nos queda 3 por 2 639 por lo que este denominador efe prima de menos 2 es igual a 9 y entonces h prima de menos 14 es un noveno y listo ya terminamos no vas a encontrarte este tipo de problemas en tu vida diaria pero es un problema típico de cálculo y está bastante interesante
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