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Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB)
Curso: Cálculo avanzado 1 (AP Calculus AB) > Unidad 3
Lección 5: Diferenciación de funciones trigonométricas inversasDerivada de la inversa del seno
Derivada de la inversa del seno. Creado por Sal Khan.
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- Hola
Disculpa sera que me puedes colaborar con:
1. ¿Por qué f(x)=y=sen^-1 (x) es equivalente a sen y = x ?
2. ¿Por qué se concluye que la derivada implícita de esa nueva equivalencia es la derivada inversa de sen?
Gracias por tu atención y respuesta, Saludos(2 votos)- Hola Mauricio, respecto a la primera pregunta, hay que tener en cuenta que sen^-1 (x) NO quiere decir 1/sen(x), sino arcosen (x). Es decir, que si "y" es igual a una razón trigonométrica (arcosen [x]), el seno de "y" nos mostrará el valor del ángulo, es decir, el valor de "x".(2 votos)
- aplica lo mismo utilizar la regla de la cadena cierto?(1 voto)
- Como dice Rodrigo H. porque tienes 2 variables (x) y (y), para eso es exáctamente la derivación implícita, aunque veo que los videos están en modo privado en el tema de derivación implícita.(1 voto)
Transcripción del video
lo que me gustaría explorar en este vídeo es ver si podemos calcular la derivada de ye con respecto x cuando ya es igual al seno inverso el seno inverso de x y como siempre te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes hacerlo por tu cuenta aunque ahora te voy a dar dos pistas no sabemos por supuesto cuál es la derivada del seno inverso de x pero sí sabemos cuál es la derivada de seno de algo así es que podemos regular esta expresión y entonces derivando implícitamente encontrar de y en de x pues recuerda que deje en de x es lo que estamos buscando básicamente queremos encontrar la derivada con respecto a x de esto de aquí supongo que ya lo intentaste ahora hagámoslo juntos sigue es igual a seno inverso de x eso es equivalente a decir que seno de iu es igual a x seno de y es igual a equis y ahora ya tenemos términos a los cuales estamos más acostumbrados aquí podemos hacer derivación implícita podemos derivar ambos lados con respecto a x derivamos con respecto a x el lado izquierdo y derivamos con respecto a x el lado derecho ahora cuál es la derivada con respecto a x de seno de iu para esto aplicamos la regla de la cadena esto va a ser la derivada con respecto a y de seno de g qué es coseno de y que multiplica a la derivada con respecto a x de iu es decir por d y én de x lo cual es igual a la derivada con respecto a x de x que ya sabemos que es igual a 1 despejando ahora de jane de x dividiendo ambos lados entre coseno de y obtenemos que deje en de x es igual a 1 sobre coseno de y sin embargo esto no nos sirve mucho pues tenemos la derivada en términos de i y la necesitamos en términos de x que podemos hacer bien ya sabemos que x es igual a seno de y déjame escribir eso x es igual a seno de g y aquí tenemos coseno de y en el denominador si usamos identidades trigonométricas para escribir esto en términos de seno de iu estaremos cerca de nuestro objetivo pues x es igual a seno de g y esto como lo logramos bueno si recordamos nuestras identidades trigonométricas sabemos que seno cuadrado de i + coseno cuadrado de y esto es igual a 1 despejamos coseno cuadrado de y restando seno cuadrado de ambos lados para obtener que coseno cuadrado de l es igual a 1 menos seno cuadrado de ye vamos a despejar coseno de y sacando raíz cuadrada a ambos lados con lo cual coseno de iu es igual a la raíz cuadrada principal de uno menos seno cuadrado de g así es que podemos escribir esto como uno sobre coseno de y que ya vimos que es la raíz cuadrada de uno menos seno cuadrado de iu y que ganamos con esto bueno pues seno de iu es x así es que esto es igual a equis cuadrada déjame escribirlo de la siguiente manera para que lo veamos claramente esto es seno de iu elevado al cuadrado así es que esto es igual 1 sobre la raíz cuadrada de 1 - seno del xx menos x al cuadrado y ya lo tenemos esta es la derivada con respecto a x de seno inverso de x la derivada con respecto a x de seno inverso de x es igual a 1 sobre la raíz cuadrada de 1 - x cuadrado quiero que quede muy claro esto al derivar a ambos lados aquí con respecto a x obtuvimos que la derivada de ye con respecto a x es igual a esto de acá es decir hemos obtenido que la derivada con respecto a x de seno inverso de x esto es igual a 1 sobre la raíz cuadrada de 1 - x cuadrada esta prueba la puede repetir siempre que te falle la memoria como suele suceder y así te familiarizas con este resultado pero es bueno aprender de esto sobre todo a medida que avanzas en cálculo y pudieras encontrarte con esta expresión y decir ay esa es la derivada de s inverso de x así esto te habrá sido sumamente útil