Manipular funciones antes de derivarlas

tenemos aquí varias de las reglas de las derivadas que hemos visto en los últimos vídeos si alguna de estas reglas no te parece familiar si te parece extraña bueno pues te recomiendo que no veas este vídeo porque lo que vamos a hacer en este vídeo es pensar cuando se aplica a cada una de ellas además de ver algunas estrategias y cómo podemos modificar expresiones algebraica mente para utilizar alguna regla más sencilla pero bueno vamos a empezar con un repaso rápido esta es la regla de las potencias es una regla muy útil para tomar la derivada de alguna variable elevada a una potencia n por supuesto también la podemos utilizar con algunas de las propiedades de la derivada por ejemplo con sumas de derivadas o con restas de derivadas y de esa forma obtenemos las derivadas de los polinomios por acá tenemos la regla del producto si tenemos una expresión y queremos encontrar su derivada pero además esa expresión la podemos escribir como la multiplicación de dos expresiones entonces su derivada es la derivada de la primera expresión por la segunda más la primera expresión por la derivada de la segunda y lo repite otra vez si alguna de estas reglas no te parece familiar si alguna de estas reglas es nueva para ti ponle pausa a este vídeo y más bien observa los vídeos acerca de la regla de las potencias o la regla del producto y haz los ejercicios de esta sección o bueno también puedes ver los vídeos de la sección de la regla del cociente regla del cociente y bueno esta regla se ve un poquito más complicada siempre tengo sentimientos encontrados con respecto a ella porque esta regla si no te acuerdas de cómo es puede derivar la a partir de la regla del producto como vimos en un vídeo acerca de la regla del cociente lo que hacemos es escribir a esta división entre g de x como una multiplicación x elevada a la menos 1 pero bueno la cuarta regla es la regla de la cadena y lo repito otra vez si alguna de estas reglas no te parece completamente familiar más bien tienes que buscar vídeos acerca de estas reglas porque en este vídeo lo que vamos a hacer es buscar estrategias de cómo resolver derivadas y cuándo aplicar cada una de estas reglas así es que vamos directamente a eso supongamos que queremos encontrar la derivada con respecto de x de x al cuadrado más x menos 2 / x menos 1 si queremos encontrar la derivada de esta expresión cuál de estas reglas utilizarías bueno pues por aquí esta expresión se parece a la de la regla del cociente podríamos decir que esta es la expresión f y luego que esta otra es la expresión g de x y entonces podemos aplicar la regla del cociente activamente podemos hacer esto si hacemos todas estas cuentas por acá vamos a llegar a la derivada de esta expresión pero en este caso en particular nos conviene detenernos un momento para ver si podemos simplificar esta expresión y si lo simplificamos seguramente vamos a tener que hacer menos trabajo por lo menos vamos a tener que hacer menos cuentas entonces por aquí nos podemos poner a pensar en cómo factorizar esta expresión y bueno es igual a x + 2 por x menos 1 por lo que estos dos se cancelan y esta expresión se simplifica a x + 2 aquí estamos buscando la derivada con respecto de x de x + 2 y bueno pues es mucho más fácil encontrar la derivada de esta expresión que aplicar la regla del cociente con esta expresión de acá aquí simplemente tenemos que tomar la derivada con respecto de x x que es un 1 más la derivada de 2 con respecto de x que es 0 así es que toda esta derivada se simplifica y nos queda 1 ahora en este momento cuando tomamos la derivada de x básicamente lo que estamos haciendo es utilizar la regla de las potencias así es que si tenemos una expresión y hacemos un poco de reconocimiento algebraico las cosas pueden simplificarse muchísimo pero bueno hagamos otro de estos ejemplos digamos por ejemplo que ahora nos piden que encontramos la derivada con respecto de x de x cuadrada más 2 x menos 5 entre x nuevamente nos podemos sentir muy tentados a utilizar la regla del cociente tenemos aquí dos expresiones que se están dividiendo pero en estos momentos uno se puede detener a pensar y decir oye esto lo podemos simplificar para que sea un poco más fácil porque esto que estamos dividiendo entre x lo podemos expresar como una multiplicación ahorita simplemente me voy a enfocar en esta parte de adentro del paréntesis de la derivada y esto se puede escribir como x elevada a la menos 1 por x al cuadrado más 2 x menos 5 y ahora aplicar la regla del producto pero hay una forma todavía más fácil de hacer esto y eso es distribuir esta multiplicación aunque multiplicamos por este y por éste y por este estamos distribuyendo esta multiplicación en todos los términos y recuerda que x elevada a la menos 1 es lo mismo a dividir entre x entonces lo que nos queda es x cuadrada dividida entre x eso es simplemente una x 2x dividida entre x eso es un 2 y luego menos 5 dividida entre x o bueno también lo podemos escribir como menos 5 por x elevada a la menos 1 y entonces tenemos que tomar la derivada con respecto de x de esta expresión que es mucho más sencillo que aplicar la regla del cociente o aplicar la regla del producto a ver aquí esta derivada es simplemente un 1 luego la derivada de 20 pero finalmente por acá esto es un poquito más complicado pero simplemente tenemos que utilizar la regla de las potencias aquí menos 1 x menos 5 es un 5 positivo aunque ponemos el 5 positivo y luego tenemos que poner la x elevada a la potencia que tenía menos 1 pero entonces menos uno menos uno es menos 2 así es que otra vez hacer un reconocimiento algebraico de lo que estamos y hace que sea muchísimo más fácil derivar lo bueno vamos a seguir haciendo ejemplos de cómo reconocer y manipular algebraica mente lo que queremos derivar hace que la derivada sea muchísimo más fácil de obtener supongamos que alguien llega y nos pregunta cuál es la derivada con respecto de x que por cierto estoy aquí derivando con respecto de x porque es la variable que estamos utilizando pero funciona con cualquier variable alguien nos pregunta cuál es la derivada con respecto de x de la raíz cuadrada de x / x al cuadrado ponle una pausa del vídeo y piensa en cómo resolverías tu esta derivada nuevamente podemos aquí utilizar la regla del cociente pero hay una forma más fácil de resolver esto lo que hoy vamos a concentrarnos únicamente a lo que está adentro del paréntesis esto es igual aquí dividir entre x al cuadrado lo mismo a multiplicar por equis a la menos dos y tenemos aquí la raíz cuadrada de x en estos momentos podemos utilizar la regla del producto pero lo podemos simplificar todavía más porque esto es igual a equis a la menos 2 la raíz cuadrada de x es x a la un medio y ahora podemos utilizar las reglas de los exponentes y nos queda x a la menos 2 más un medio que es menos tres medios y listo al crear y aquí estamos tomando la derivada con respecto de x de esto nuevamente este es un ejemplo en el que tenemos una expresión con la cual no sabemos si usar la regla del cociente o usar la regla del producto pero simplificando esta expresión nos queda suficientemente sencillo como para que sólo tengamos que utilizar la regla de las potencias aquí lo que nos queda usando la regla de las potencias tomamos el exponente lo pasamos al coeficiente entonces nos queda menos tres medios por x x a la potencia que tenía menos uno menos tres medios menos uno es menos cinco medios y es que siempre que estés a punto de utilizar la regla del cociente piensa si no puedes simplificar la expresión a veces simplemente tenemos que hacer algunas manipulaciones algebraicas también podemos hacer sustituciones trigonométricas pero si se puede simplificar la expresión sacar la derivada se vuelve mucho más sencillo una recomendación general que te puedo dar es que si en algún momento estás por ejemplo en un examen resolviendo una derivada y sientes que es una ruta demasiado complicada por ejemplo la regla del cociente generalmente te lleva por una ruta algo complicada esa es una muy buena señal de que deberías detenerte unos segundos y antes de realizar todos esos cálculos complicados tal vez puede simplificar un poco la expresión y que la derivada fluya de una forma más sencilla ahora vamos a ver otro ejemplo esta solución no va a ser tan clara en realidad depende de cuáles sean tus preferencias pero digamos que queremos tomar la derivada con respecto de x de 1 / 2 x menos 5 aquí por supuesto también podemos aplicar la regla del cociente diciendo que este 1 es la función f x pero también lo podemos ver así como la derivada con respecto de x de 2x menos 5 elevado a la potencia menos 1 y si nos vamos por este otro camino podemos utilizar la regla de las potencias y la regla de la cadena por aquí la función de x es el polinomio 2x menos 5 y efe compuesta por g efe gx es toda esta expresión así es que esta derivada es igual a la derivada de la función de afuera evaluada en la función de adentro por la derivada de la función de adentro bueno dicho de otra forma podemos decir que es la derivada de toda esta expresión respecto a la expresión que tenemos adentro del paréntesis y luego multiplicar por la derivada de esta expresión ok empezamos tomando la derivada de f de gx con respecto a gdx y eso nos queda así tomamos el exponente lo multiplicamos por el coeficiente aquí estamos utilizando la regla de las potencias y nos queda menos 2 x menos 5 elevado a la menos 2 esto es la derivada de fg de x con respecto a hdx pero ahora tenemos que multiplicar por la derivada de g de x la derivada de lo de adentro la derivada de 2x es un 2 multiplicamos por 2 y la derivada de menos 50 entonces ya terminamos el 2 es que prima de x pero bueno déjame hacer un ejemplo más y lo repito otra vez no hay una forma en la que se tengan que hacer las cosas se puede hacer de varias formas distintas y eso es en parte lo que quiero obsérvese en estos ejercicios las múltiples formas con las que podemos resolver este tipo de derivadas digamos que alguien te pide que encuentres la derivada de 2 x + 1 al cuadrado ponle pausa al vídeo e intenta resolver esta derivada por tu cuenta bueno una forma es volver a aplicar la regla de la cadena tomamos aquí el exponente lo multiplicamos por el coeficiente y entonces nos queda 2 por la expresión 2x más 1 elevado a la 1 que es el exponente que teníamos menos 1 pero luego tenemos que multiplicar por la derivada de lo de adentro que es simplemente un 2 pero esto es igual a 4 por 2 x + 1 y si queremos distribuir el 4 en este paréntesis esto es igual a 8 x + 4 esta es una forma completamente correcta de resolver esta derivada pero por supuesto hay otra forma de hacerlo por ejemplo podríamos saber arrollado esta expresión primero y después sacar la derivada de cada uno de sus términos y esto sería igual a la derivada con respecto de x de 2x elevada al cuadrado es 4x al cuadrado más 2 x 2x por 1 + 4x + 1 al cuadrado y aquí simplemente tenemos que aplicar la regla de las potencias en cada uno de estos términos así es que pues utilizamos un poquito de álgebra primero haciendo que la derivada sea más fácil y por supuesto vamos a obtener exactamente el mismo resultado entonces la moraleja de este vídeo es que te detengas a observar la expresión que estás tratando de derivar observa si hay alguna forma de simplificar la sobre todo si te estás complicando la vida usando la regla del cociente porque ésta a veces es bastante difícil de recordar y tienes que hacer un montón de cuentas por lo que se puede poner innecesariamente complicada muy rápido