Derivadas con disfraz

veamos si podemos encontrar el límite cuando h tiende a cero de cinco veces el logaritmo de dos más h menos cinco veces el logaritmo de dos esto entre h y te voy a dar una pequeña pista sobre todo porque quiero que pausa es el vídeo e intentes encontrarlo por tu cuenta piensa en las propiedades de las derivadas especialmente en las derivadas de funciones logarítmicas en este caso con base 10 porque recuerdan que cuando no ponemos una base a quien solamente escribimos log estamos hablando de base 10 así que pausa el vídeo e intenta resolver esto por tu cuenta bien la clave aquí es recordar que si tengo a fx una cierta efe de x y yo quiero ver cuánto valen f prima que no sea una cierta bueno pues efe prima de una cierta am por definición esto es lo mismo que tomarme el límite el límite cuando h tiende a cero cuando h tiende a cero de quien bueno de f de amas h ok a esto le quitamos f de a y dividimos todo entre h dividimos todo esto entre h así que si observas esto de aquí es muy parecido solamente que aquí tenemos estos cincos que nos estorban pero por suerte podemos factorizar estos cincos atrás de este límite porque sabemos las propiedades de los límites recuerda que si tienes un escalar o un factor multiplicando la expresión sabemos por las propiedades de los límites que en realidad podemos sacarlos fuera de los mismos límites entonces vamos a atrapar estos 25 os vamos a factorizar los y este que tengo aquí me va a quedar que esto sería igual a 5 que multiplican déjame ponerlo con su respectivo color que multiplica al límite cuando h tiende a cero de el logaritmo 2 + h menos el logaritmo de 2 todo esto dividido entre h ahora podría reconocer esto la siguiente manera si por ejemplo pensamos que tenemos a efe de equis y decimos que fx es igual al logaritmo de x el logaritmo de x entonces cuánto vale efe prima de 2 bueno efe prima de 2 va a ser igual a quien usando esta misma idea es el límite el límite cuando h tiende a 0 de el logaritmo de 2 más h - el logaritmo de dos menos el logaritmo de dos todo esto / / h así que si observas esto puedes reconocer que todo esto que tenemos aquí todo esto que tenemos aquí es f prima de 2 efe prima de 2 sí bueno fx es el logaritmo de x entonces esto es f prima de 2 ahora la pregunta es cómo podemos encontrar este límite quienes f prima de x entonces quienes f prima de x fm prima de x y bueno no necesitamos usar la definición del límite de la definición del límite es un poco complicada para evaluar este tipo de límites pero lo que sabemos es cómo sacar la derivada de funciones logarítmicas entonces f prima de x va a ser igual a 1 esto entre el logaritmo natural de la base en este caso nuestra base es 10 esto que multiplican bueno que multiplica a x si esto fuera un logaritmo natural me quedaría uno entre el logaritmo natural de x x pero el logaritmo natural de m es simplemente 1 así que me quedaría uno entre x pero si tienen cualquier otra base deben de poner el natural de esa base justo aquí en el denominador entonces quién sería efe prima de 2 bueno efe prima de 2 va a ser igual a 1 esto dividido a su vez entre el logaritmo natural de 10 esto que multiplica a 2 ok de lujo así que toda esta cosa de aquí la podemos ver de la siguiente manera esto va a ser igual a 55 y lo podemos poner acá arriba 5 que a su vez está dividido entre el logaritmo natural de 10 todo esto multiplicado por dos bueno lo puedes ver como 2 por el logaritmo natural de 10 la clave para este tipo de ejercicios consiste en decir bueno permíteme ver si puedo evaluar este límite y darte cuenta de que esto se parece mucho a la derivada de una función logarítmica en especial a la derivada cuando x es igual a 2 eso sí podemos factorizar estos cincos y decir bueno esto es la derivada de el logaritmo de x cuando x es igual a 2 y nosotros sabemos sacar la derivada de el logaritmo de x si no saben sacar esta derivada tenemos videos donde probamos esto donde sacan la derivada de logaritmos que su base es distinta a y bueno ya solamente usamos eso para realmente sacar la derivada y evaluar eso en 2 así llegamos a este resultado y entonces terminamos