Ejemplo resuelto: acumulación de cambio

a julia le tomó 20 minutos darse cuenta de que su tina de hidromasaje tenía una fuga cuando él se dio cuenta abrió el drenaje de la tina y el agua restante salió en 40 minutos la razón a la cual el agua de la tina se drenó en galones por minuto se muestra abajo cuántos galones de agua había en la tina antes de que empezara a fugarse veamos qué es lo que tenemos por acá nos dan una gráfica de galones por minuto contra tiempo y lo que vemos aquí esta línea azul es la razón a la cual el agua de la tina se drenó así es que en el minuto cero el agua aún no drenaba de la tina pero a medida que pasó el tiempo empezó el agua drenar y no tan sólo eso aumentó el ritmo al cual drenaba así es que a los diez minutos de estar en la tina el agua drena va a razón de un galón por minuto mientras que a los veinte minutos de estar en la tina el agua ya de navarra son de dos galones por minuto y en ese momento se da cuenta y abre el drenaje me parece que ya quería terminar con su baño así es que drenaje y el agua empieza a fluir a una tasa mayor a 20 galones por minuto pero esa tasa decrece podríamos pensar en la física de esto quizás al abrir el drenaje baja la presión y decrece la tasa sin embargo no me voy a meter en la física de esto vamos a tomar como válida esta gráfica de tal manera que la tasa a la cual el agua fluye decrece hasta llegar al minuto 60 por lo que 40 minutos después de que abrió el drenaje y 60 minutos de que inició su baño latina se vació completamente dado eso como calculamos cuántos galones de agua había en la tina antes de que empezara a fugarse te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes hacerlo por tu cuenta antes de que lo hagamos juntos bien contestar la pregunta cuántos galones de agua bien la tina antes de que empezara a fugarse es lo mismo que contestar la pregunta cuánta agua se drenó así es que esta pregunta equivale a cuánta agua cuánta agua bueno y para responder a esto podemos considerar lo que sabíamos antes de que aprendiéramos cálculo si tenemos algo que ocurre una tasa fija digamos que esto es galones por minuto supongamos que estamos en el mismo contexto así es que este sería el tiempo en minutos que sucede entonces cuando el flujo está drenando a una tasa constante si lo que deseamos saber es cuál es la cantidad total de líquido que se drena en cierto intervalo de tiempo como este que tenemos aquí el cual podemos llamar del tate simplemente tenemos que multiplicar la tasa a la cual está fluyendo el líquido que sería esta altura que tenemos aquí que voy a marcar de color naranja decíamos entonces que simplemente hay que multiplicar esta tasa por el intervalo de tiempo transcurrido y esto básicamente lo que nos está dando es el área bajo la curva sobre el intervalo el área bajo la curva sobre ese intervalo y esta área nos va a indicar la cantidad total en galones de líquido que serenó durante ese intervalo y esto también aplica aunque no sea una tasa constante y tuviéramos por ejemplo una taza que se ve más o menos así como hemos visto en otros vídeos como te mostrado podemos calcular la cantidad total de líquido que se drenó sobre cierto intervalo de tiempo como este que tenemos aquí básicamente obteniendo el área bajo la curva calculando el área bajo la curva sobre dicho intervalo y las unidades concuerdan si multiplicamos galones por minuto por minutos entonces las unidades de esta área son galones las unidades de esta área son talones otra manera de ver esto es como calculamos el área de este trapezoide que tenemos acá para el área el trapezoide encontramos la altura promedio que va a ser el promedio de las alturas al inicio y al final del trapecio de calculamos el promedio entre esas alturas y esto funciona para una línea como esta si tomamos esta altura promedio y la multiplicamos la multiplicamos por el cambio en el tiempo de hecho vamos a obtener vamos a calcular y así es que la otra manera de ver esto es que estamos tomando la tasa promedio sobre el intervalo la estamos multiplicando por la longitud del intervalo y eso nos va a dar la cantidad total en galones así es que tenemos que aplicar esa idea que literalmente calcular el área bajo la curva sobre todo el intervalo desde que el agua empezó a fugarse o a drenar entre el minuto cero y el minuto 60 así es que va a ser esta área esta área que estoy dibujando en magenta más toda esta área que se encuentra debajo de esta sección y para hacer el cálculo vamos a dividir esta área en dos regiones tenemos esta región triangular aquí arriba podríamos haber considerado que las regiones un trapecio de pero la vamos a dividir en un triángulo y en un rectángulo así es que también tenemos esta región de aquí que estoy iluminando en verde así es que cuál es el área total aquí tenemos 20 galones por minuto tenemos 20 no 20 minutos de hecho tenemos 20 minutos que vamos a multiplicar por 2 galones por minuto y eso lo vamos a multiplicar por un medio pues estamos calculando el área de este triángulo y esto nos va a dar esto es igual a 20 por 240 entre 220 galones vemos que las unidades son las adecuadas así es que eso corresponde básicamente a lo que se drenó durante los primeros 20 minutos ahora esta área en verde va a ser 40 minutos que multiplica a 10 galones por minuto 10 galones de hecho no voy a considerar las unidades lo único que requiere es calcular el área así es que va a ser 40 por 10 lo cual es igual a 400 y eso él va a sumar el área de este triángulo en azul que tiene una base de 40 por la altura que es 20 menos 10 10 y por un medio porque es un triángulo así es que es 40 por 10 y por un medio esto nos da igual a 200 y ahora sumamos estas tres cantidades que es el valor de las tres áreas para obtener 400 más 200 600 20 620 620 galones que es la cantidad total de agua que se drenó o la cantidad de agua que había en la tina de hidromasaje antes de que empezara a fugarse esta es una gran cantidad para una tina normal pero esta podría ser un jacuzzi o algo así